Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri

Himpunan penyelesaiannya adalah {54°, 126°, 198°, 270°, 342°}.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah cos(2x) + sin(3x) = 0. Kita bisa menuliskannya sebagai cos(2x) = -sin(3x). Menggunakan identitas trigonometri -sin(θ) = sin(-θ) atau -sin(θ) = sin(180° + θ), kita dapatkan cos(2x) = sin(-3x) atau cos(2x) = sin(180° + 3x). Menggunakan identitas cos(θ) = sin(90° - θ), kita dapatkan sin(90° - 2x) = sin(-3x) atau sin(90° - 2x) = sin(180° + 3x). 

Kasus 1: sin(90° - 2x) = sin(-3x)
90° - 2x = -3x + k.360°  atau  90° - 2x = 180° - (-3x) + k.360°
90° + x = k.360°        atau  90° - 2x = 180° + 3x + k.360°
x = 90° - k.360°        atau  -90° - 5x = k.360°
Untuk 0° ≤ x ≤ 360°, dari x = 90° - k.360°, kita dapatkan x = 90° (untuk k=0).
Dari -90° - 5x = k.360°, 5x = -90° - k.360°, x = -18° - k.72°. Tidak ada solusi dalam rentang yang diberikan.

Kasus 2: sin(90° - 2x) = sin(180° + 3x)
90° - 2x = 180° + 3x + k.360°  atau  90° - 2x = 180° - (180° + 3x) + k.360°
-90° - 5x = k.360°        atau  90° - 2x = -3x + k.360°
5x = -90° - k.360°        atau  x = -90° + k.360°
x = -18° - k.72°        atau  x = -90° + k.360°
Untuk 0° ≤ x ≤ 360°, dari x = -90° + k.360°, kita dapatkan x = 270° (untuk k=1).

Alternatif lain: cos(2x) = -sin(3x) = cos(90° + 3x)
2x = ±(90° + 3x) + k.360°

Kasus a: 2x = 90° + 3x + k.360°
-x = 90° + k.360°
x = -90° - k.360°
Untuk 0° ≤ x ≤ 360°, kita dapatkan x = 270° (untuk k=-1).

Kasus b: 2x = -(90° + 3x) + k.360°
2x = -90° - 3x + k.360°
5x = -90° + k.360°
x = -18° + k.72°
Untuk 0° ≤ x ≤ 360°:
k=1: x = -18° + 72° = 54°
k=2: x = -18° + 144° = 126°
k=3: x = -18° + 216° = 198°
k=4: x = -18° + 288° = 270°
k=5: x = -18° + 360° = 342°

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {54°, 126°, 198°, 270°, 342°}.