limit x -> tak hingga 4x sin(3/5x)=...

Nilai limit adalah 12/5.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit \(\\lim_{x \to \infty} 4x \sin(\frac{3}{5x})\), kita dapat melakukan substitusi. Misalkan \(u = \frac{1}{x}\). Ketika \(x \to \infty\), maka \(u \to 0\). Persamaan limit menjadi: \(\\lim_{u \to 0} 4(\frac{1}{u}) \sin(\frac{3}{5}(\frac{1}{u}))\) \(\\lim_{u \to 0} \frac{4}{u} \sin(\frac{3}{5u})\). Bentuk ini masih belum tentu. Mari kita gunakan pendekatan lain. Kita tahu bahwa \(\\lim_{y \to 0} \frac{\sin(ay)}{y} = a\). Kita bisa mengatur ulang ekspresi limit awal agar sesuai dengan bentuk ini. \(\\lim_{x \to \infty} 4x \sin(\frac{3}{5x})\). Kalikan dan bagi dengan \(\frac{3}{5}\) di dalam sinus, dan kalikan serta bagi dengan \(x\) di luar sinus untuk menyesuaikan bentuk. \(\\lim_{x \to \infty} 4x \cdot \frac{\sin(\frac{3}{5x})}{\frac{3}{5x}} \cdot \frac{3}{5x}\). Sekarang kita bisa melihat bagian \(\frac{\sin(\frac{3}{5x})}{\frac{3}{5x}}\) mendekati 1 ketika \(x \to \infty\) (karena \(\frac{3}{5x} \to 0\)). Jadi, limitnya menjadi: \(\\lim_{x \to \infty} 4x \cdot 1 \cdot \frac{3}{5x}\). \(\\lim_{x \to \infty} \frac{12x}{5x}\). Kita bisa membatalkan \(x\) di pembilang dan penyebut. \(\\frac{12}{5}\). Jadi, nilai dari limit tersebut adalah \(\frac{12}{5}\).