Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen

Himpunan penyelesaiannya adalah $x \le -10/3$ atau $x \ge 2$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen $9^{(2x-4)} \ge (1/27)^{(x^2-4)}$, kita perlu menyamakan basisnya terlebih dahulu. Basis 9 dapat ditulis sebagai $3^2$ dan basis 1/27 dapat ditulis sebagai $3^{-3}$.

Substitusikan basis yang sama:
$(3^2)^{(2x-4)} \ge (3^{-3})^{(x^2-4)}$

Gunakan sifat eksponen $(a^m)^n = a^{m 	imes n}$:
$3^{2(2x-4)} \ge 3^{-3(x^2-4)}$
$3^{4x-8} \ge 3^{-3x^2+12}$

Karena basisnya sama (yaitu 3, yang lebih besar dari 1), kita dapat menyamakan eksponennya dengan memperhatikan arah pertidaksamaan:
$4x-8 \ge -3x^2+12$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
$3x^2 + 4x - 8 - 12 \ge 0$
$3x^2 + 4x - 20 \ge 0$

Sekarang kita perlu mencari akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^2 + 4x - 20 = 0$. Kita bisa menggunakan rumus kuadratik $x = [-b \pm \sqrt{(b^2-4ac)}] / (2a)$:
$a = 3, b = 4, c = -20$
$x = [-4 \pm \sqrt{(4^2 - 4(3)(-20))}] / (2(3))$
$x = [-4 \pm \sqrt{(16 + 240)}] / 6$
$x = [-4 \pm \sqrt{256}] / 6$
$x = [-4 \pm 16] / 6$

Dua akar adalah:
$x1 = (-4 + 16) / 6 = 12 / 6 = 2$
$x2 = (-4 - 16) / 6 = -20 / 6 = -10/3$

Sekarang kita memiliki pertidaksamaan $3x^2 + 4x - 20 \ge 0$. Karena koefisien $x^2$ positif (3), parabola terbuka ke atas. Pertidaksamaan ini benar (positif atau nol) di luar akar-akarnya.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x \le -10/3$ atau $x \ge 2$.

Dalam notasi interval, himpunan penyelesaiannya adalah $(-\infty, -10/3] \cup [2, \infty)$.