Tentukan daerah asal dan daerah hasil untuk setiap fungsi

Daerah asal: \(x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi\) untuk \(n \in \mathbb{Z}\). Daerah hasil: \(y \in \mathbb{R}\).

Pembahasan

Untuk fungsi \(y = \sin x + \tan x\), kita perlu menentukan daerah asal (domain) dan daerah hasil (range).

**Daerah Asal (Domain):**
Fungsi \(\sin x\) terdefinisi untuk semua bilangan real \(x\). Namun, fungsi \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) tidak terdefinisi ketika \(\cos x = 0\). Nilai \(x\) di mana \(\cos x = 0\) adalah \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\), di mana \(n\) adalah bilangan bulat.

Oleh karena itu, daerah asal fungsi \(y = \sin x + \tan x\) adalah semua bilangan real \(x\) kecuali \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\), di mana \(n\) adalah bilangan bulat.

Dalam notasi interval, daerah asalnya adalah \(\bigcup_{n \in \mathbb{Z}} \left( \frac{-\pi}{2} + n\pi, \frac{\pi}{2} + n\pi \right)\).

**Daerah Hasil (Range):**
Menentukan daerah hasil dari \(y = \sin x + \tan x\) secara analitis cukup kompleks karena kombinasi fungsi sinus dan tangen. Namun, kita dapat menganalisis perilaku fungsi:

- Saat \(x \to \frac{\pi}{2}^-\), \(\sin x \to 1\) dan \(\tan x \to \infty\), sehingga \(y \to \infty\).
- Saat \(x \to \frac{\pi}{2}^+\), \(\sin x \to 1\) dan \(\tan x \to -\infty\), sehingga \(y \to -\infty\).

Karena fungsi ini memiliki asimtot vertikal dan terus menerus naik atau turun di antara asimtot tersebut, serta mencapai nilai positif dan negatif yang sangat besar, daerah hasilnya mencakup semua bilangan real.

Jadi, daerah hasilnya adalah \((-\infty, \infty)\) atau semua bilangan real \(\mathbb{R}\).