Himpunan penyelesaian dari |x-1/x-2|<1 adalah a

Himpunan penyelesaiannya adalah x < 3/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak |x-1/x-2|<1, kita perlu memecahnya menjadi dua kasus:
Kasus 1: (x-1)/(x-2) < 1
(x-1)/(x-2) - 1 < 0
(x-1 - (x-2))/(x-2) < 0
(x-1-x+2)/(x-2) < 0
1/(x-2) < 0
Ini terjadi ketika penyebutnya negatif, yaitu x-2 < 0, sehingga x < 2.

Kasus 2: (x-1)/(x-2) > -1
(x-1)/(x-2) + 1 > 0
(x-1 + (x-2))/(x-2) > 0
(2x-3)/(x-2) > 0
Ini terjadi ketika kedua faktor bertanda sama:
   a) 2x-3 > 0 dan x-2 > 0  => x > 3/2 dan x > 2  => x > 2
   b) 2x-3 < 0 dan x-2 < 0  => x < 3/2 dan x < 2  => x < 3/2

Untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari |x-1/x-2|<1, kita perlu mencari irisan dari kedua kasus tersebut. Namun, perlu diingat bahwa penyebut (x-2) tidak boleh sama dengan nol, jadi x ≠ 2.

Dari Kasus 1, kita mendapatkan x < 2.
Dari Kasus 2, kita mendapatkan x > 2 atau x < 3/2.

Irisan dari (x < 2) dan (x > 2 atau x < 3/2) adalah:
Irisan dari (x < 2) dan (x > 2) adalah himpunan kosong.
Irisan dari (x < 2) dan (x < 3/2) adalah x < 3/2.

Jadi, himpunan penyelesaian dari |x-1/x-2|<1 adalah x < 3/2.
Dalam notasi himpunan, HP = {x | x < 3/2}.