Himpunan penyelesaian persamaan: 3(1-2sin^2 x)+5sin x+1=0

Himpunan penyelesaiannya adalah {7pi/6, 11pi/6}.

Pembahasan

Untuk mencari himpunan penyelesaian persamaan 3(1-2sin^2 x)+5sin x+1=0 dalam interval 0 <= x <= 2pi, kita perlu menyederhanakan persamaan tersebut terlebih dahulu.

Persamaan awal:
3(1 - 2sin^2 x) + 5sin x + 1 = 0

Distribusikan 3:
3 - 6sin^2 x + 5sin x + 1 = 0

Gabungkan konstanta:
-6sin^2 x + 5sin x + 4 = 0

Kalikan dengan -1 agar koefisien sin^2 x positif:
6sin^2 x - 5sin x - 4 = 0

Misalkan y = sin x, maka persamaan kuadratnya menjadi:
6y^2 - 5y - 4 = 0

Kita bisa faktorkan persamaan kuadrat ini atau menggunakan rumus kuadrat. Mari kita coba faktorkan:
(2y - ?)(3y + ?) = 0

Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6*(-4) = -24 dan jika dijumlahkan menghasilkan -5. Bilangan tersebut adalah -8 dan 3.

Mari kita susun ulang:
6y^2 - 8y + 3y - 4 = 0
2y(3y - 4) + 1(3y - 4) = 0
(2y + 1)(3y - 4) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk y:
1) 2y + 1 = 0  =>  2y = -1  =>  y = -1/2
2) 3y - 4 = 0  =>  3y = 4   =>  y = 4/3

Karena y = sin x, maka kita punya:
1) sin x = -1/2
2) sin x = 4/3

Nilai sin x tidak mungkin lebih dari 1 atau kurang dari -1. Oleh karena itu, sin x = 4/3 tidak memiliki solusi.

Sekarang kita fokus pada sin x = -1/2.
Dalam interval 0 <= x <= 2pi, sin x bernilai negatif di kuadran III dan IV.

Di kuadran III, sudut referensinya adalah pi/6 (karena sin(pi/6) = 1/2).
Jadi, x = pi + pi/6 = 7pi/6.

Di kuadran IV, sudut referensinya adalah pi/6.
Jadi, x = 2pi - pi/6 = 11pi/6.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {7pi/6, 11pi/6}.