Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (5x+6)/3x>=x-4 adalah

Himpunan penyelesaiannya adalah (-∞, -1/3] U (0, 6].

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan 
(5x+6)/(3x) >= x-4

Langkah pertama adalah membawa semua suku ke satu sisi agar sisi lainnya menjadi nol:
(5x+6)/(3x) - (x-4) >= 0

Selanjutnya, samakan penyebutnya:
(5x+6)/(3x) - (x-4)(3x)/(3x) >= 0
(5x+6 - (3x^2 - 12x))/(3x) >= 0
(5x+6 - 3x^2 + 12x)/(3x) >= 0
(-3x^2 + 17x + 6)/(3x) >= 0

Kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebut.

Akar pembilang: -3x^2 + 17x + 6 = 0
Kalikan dengan -1 untuk memudahkan: 3x^2 - 17x - 6 = 0
Gunakan rumus kuadratik x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [17 ± sqrt((-17)^2 - 4(3)(-6))] / (2*3)
x = [17 ± sqrt(289 + 72)] / 6
x = [17 ± sqrt(361)] / 6
x = [17 ± 19] / 6

x1 = (17 + 19) / 6 = 36 / 6 = 6
x2 = (17 - 19) / 6 = -2 / 6 = -1/3

Akar penyebut: 3x = 0 => x = 0

Sekarang kita memiliki tiga nilai kritis: -1/3, 0, dan 6. Nilai-nilai ini membagi garis bilangan menjadi empat interval:
1. x < -1/3
2. -1/3 < x < 0
3. 0 < x < 6
4. x > 6

Kita akan menguji tanda dari ekspresi (-3x^2 + 17x + 6)/(3x) di setiap interval.

Interval 1: x < -1/3 (misal x = -1)
(-3(-1)^2 + 17(-1) + 6) / (3(-1)) = (-3 - 17 + 6) / (-3) = (-14) / (-3) = 14/3 > 0

Interval 2: -1/3 < x < 0 (misal x = -0.1)
(-3(-0.1)^2 + 17(-0.1) + 6) / (3(-0.1)) = (-3(0.01) - 1.7 + 6) / (-0.3) = (-0.03 - 1.7 + 6) / (-0.3) = (4.27) / (-0.3) < 0

Interval 3: 0 < x < 6 (misal x = 1)
(-3(1)^2 + 17(1) + 6) / (3(1)) = (-3 + 17 + 6) / 3 = (20) / 3 > 0

Interval 4: x > 6 (misal x = 7)
(-3(7)^2 + 17(7) + 6) / (3(7)) = (-3(49) + 119 + 6) / 21 = (-147 + 119 + 6) / 21 = (-22) / 21 < 0

Pertidaksamaan yang kita inginkan adalah ekspresi >= 0.

Dari pengujian interval, ekspresi bernilai positif pada interval x < -1/3 dan 0 < x < 6.

Namun, kita perlu memperhatikan nilai x = -1/3 dan x = 6 (akar pembilang) karena pertidaksamaan menggunakan '>='. Nilai x = 0 (akar penyebut) tidak boleh masuk dalam himpunan penyelesaian karena akan menyebabkan pembagian dengan nol.

Jadi, solusi yang memenuhi adalah x <= -1/3 atau 0 < x <= 6.

Dalam notasi himpunan penyelesaian:
H.P. = {x | x <= -1/3 atau 0 < x <= 6}
Atau dalam notasi interval: (-∞, -1/3] U (0, 6].