Himpunan penyelesaian pertidaksamaan cos 2x-cox x>0 untuk

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | 120° < x < 240°}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan cos(2x) - cos(x) > 0 dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°, kita perlu menggunakan identitas trigonometri dan menyelesaikan pertidaksamaan.

Identitas yang relevan adalah cos(2x) = 2cos²(x) - 1.
Substitusikan identitas ini ke dalam pertidaksamaan:
(2cos²(x) - 1) - cos(x) > 0
2cos²(x) - cos(x) - 1 > 0

Misalkan y = cos(x). Pertidaksamaan menjadi:
2y² - y - 1 > 0

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
(2y + 1)(y - 1) > 0

Ini memberikan kita dua kondisi:
1. 2y + 1 > 0  => 2y > -1 => y > -1/2
2. y - 1 > 0  => y > 1
Atau
1. 2y + 1 < 0  => 2y < -1 => y < -1/2
2. y - 1 < 0  => y < 1

Karena y = cos(x), nilai y berada di antara -1 dan 1 (inklusif).
Jadi, kita perlu mempertimbangkan kasus:

Kasus 1: y > -1/2 DAN y < 1
Ini berarti -1/2 < cos(x) < 1.

Kasus 2: y < -1/2 DAN y > 1 (Ini tidak mungkin karena cos(x) tidak bisa lebih besar dari 1).

Jadi, kita fokus pada Kasus 1: -1/2 < cos(x) < 1.

Kita perlu mencari nilai x di mana cos(x) = -1/2 dan cos(x) = 1 dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°.

cos(x) = 1 ketika x = 0° dan x = 360°.
cos(x) = -1/2 ketika x = 120° dan x = 240°.

Sekarang kita analisis interval berdasarkan nilai-nilai ini:
- Interval (0°, 120°): cos(x) positif (misal cos(60°) = 1/2), jadi cos(x) > -1/2 dan cos(x) < 1. Kondisi terpenuhi.
- Interval (120°, 240°): cos(x) negatif. cos(180°) = -1. Di sini cos(x) < -1/2. Kondisi tidak terpenuhi.
- Interval (240°, 360°): cos(x) positif (misal cos(300°) = 1/2), jadi cos(x) > -1/2 dan cos(x) < 1. Kondisi terpenuhi.

Namun, kita harus hati-hati dengan batas-batasnya. Pertidaksamaan adalah cos(2x) - cos(x) > 0.

Kita perlu memeriksa nilai cos(x) di antara nilai-nilai kritis.

Di mana cos(x) = -1/2:
Ini terjadi pada x = 120° dan x = 240°.

Di mana cos(x) = 1:
Ini terjadi pada x = 0° dan x = 360°.

Pertidaksamaan kita adalah (2cos(x) + 1)(cos(x) - 1) > 0.

Karena cos(x) ≤ 1, maka cos(x) - 1 ≤ 0. Agar hasil perkalian positif (> 0), maka (2cos(x) + 1) harus negatif dan (cos(x) - 1) harus negatif.

cos(x) - 1 < 0 => cos(x) < 1 (selama x bukan 0° atau 360°).

2cos(x) + 1 < 0 => 2cos(x) < -1 => cos(x) < -1/2.

Kita perlu mencari nilai x di mana cos(x) < -1/2 dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°.

Nilai x di mana cos(x) = -1/2 adalah 120° dan 240°.
Karena kurva kosinus turun setelah 90° dan naik setelah 270°, maka cos(x) < -1/2 terjadi ketika x berada di antara 120° dan 240°.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 120° < x < 240°.

Namun, jika kita lihat soal aslinya, pertidaksamaannya adalah cos 2x - cos x > 0.
Kita faktorkan menjadi (2cos x + 1)(cos x - 1) > 0.
Karena cos x ≤ 1, maka cos x - 1 ≤ 0. Agar hasil perkalian > 0, maka 2cos x + 1 harus < 0 (dan cos x - 1 harus < 0).

2cos x + 1 < 0 => cos x < -1/2.

Nilai x dimana cos x = -1/2 adalah 120° dan 240°.
Karena grafik cosinus berada di bawah -1/2 antara 120° dan 240°.

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | 120° < x < 240°}.