Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ||x|+x|<=2 adalah ....

Himpunan penyelesaiannya adalah x <= 1.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan ||x| + x| <= 2.

Kita tahu bahwa nilai absolut |a| didefinisikan sebagai:
|a| = a, jika a >= 0
|a| = -a, jika a < 0

Mari kita pertimbangkan dua kasus untuk |x|:

Kasus 1: x >= 0
Jika x >= 0, maka |x| = x.
Pertidaksamaan menjadi: |x + x| <= 2
|2x| <= 2

Karena x >= 0, maka 2x >= 0, sehingga |2x| = 2x.
Pertidaksamaan menjadi: 2x <= 2
x <= 1

Karena kita berada dalam kasus x >= 0, maka solusi untuk kasus ini adalah 0 <= x <= 1.

Kasus 2: x < 0
Jika x < 0, maka |x| = -x.
Pertidaksamaan menjadi: |-x + x| <= 2
|0| <= 2
0 <= 2

Ini adalah pernyataan yang selalu benar. Namun, kita harus ingat bahwa kita berada dalam kasus x < 0. Jadi, semua nilai x < 0 memenuhi pertidaksamaan ini dalam kasus ini.

Menggabungkan kedua kasus:
Dari Kasus 1, kita mendapatkan 0 <= x <= 1.
Dari Kasus 2, kita mendapatkan x < 0.

Jika kita menggabungkan kedua himpunan solusi ini, kita mendapatkan semua bilangan real x sedemikian rupa sehingga x <= 1.

Namun, mari kita periksa kembali definisinya. |x| + x akan selalu bernilai non-negatif. 
Jika x >= 0, |x| + x = x + x = 2x. Maka |2x| <= 2, yang berarti -2 <= 2x <= 2, atau -1 <= x <= 1. Karena kita mengasumsikan x >= 0, maka solusinya adalah 0 <= x <= 1.

Jika x < 0, |x| + x = -x + x = 0. Maka |0| <= 2, yang berarti 0 <= 2. Ini selalu benar. Jadi, untuk kasus x < 0, semua nilai x memenuhi. 

Menggabungkan kedua hasil:
x < 0 atau (0 <= x <= 1).
Ini berarti semua x <= 1.

Sekarang kita perlu memeriksa kembali batasannya. 
Jika x = -5, ||-5|+(-5)| = |5-5| = |0| = 0 <= 2. Benar.
Jika x = 0, ||0|+0| = |0| = 0 <= 2. Benar.
Jika x = 1, ||1|+1| = |1+1| = |2| = 2 <= 2. Benar.
Jika x = 2, ||2|+2| = |2+2| = |4| = 4. 4 <= 2. Salah.

Hasilnya adalah x <= 1.

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan ||x| + x| <= 2 adalah semua bilangan real x sedemikian rupa sehingga x <= 1.