Himpunan titik P = {(1, -1), (1, 1), (2, 2), (3, 1)}

Sistem pertidaksamaan yang mencakup himpunan titik P = {(1, -1), (1, 1), (2, 2), (3, 1)} bisa jadi adalah: x ≥ 1, y ≤ x, x + y ≤ 4, dan x - y ≤ 2.

Pembahasan

Untuk menentukan sistem pertidaksamaan yang menghasilkan himpunan titik P = {(1, -1), (1, 1), (2, 2), (3, 1)}, kita perlu menguji setiap titik terhadap beberapa kemungkinan sistem pertidaksamaan linear.

Asumsikan sistem pertidaksamaan tersebut berbentuk:
$ax + by \leq c_1$
$dx + ey \leq c_2$
...

Kita akan menguji setiap titik:
1.  Titik (1, -1):
    *   $a(1) + b(-1) \leq c_1 
ightarrow a - b \leq c_1$
    *   $d(1) + e(-1) \leq c_2 
ightarrow d - e \leq c_2$
2.  Titik (1, 1):
    *   $a(1) + b(1) \leq c_1 
ightarrow a + b \leq c_1$
    *   $d(1) + e(1) \leq c_2 
ightarrow d + e \leq c_2$
3.  Titik (2, 2):
    *   $a(2) + b(2) \leq c_1 
ightarrow 2a + 2b \leq c_1$
    *   $d(2) + e(2) \leq c_2 
ightarrow 2d + 2e \leq c_2$
4.  Titik (3, 1):
    *   $a(3) + b(1) \leq c_1 
ightarrow 3a + b \leq c_1$
    *   $d(3) + e(1) \leq c_2 
ightarrow 3d + e \leq c_2$

Tanpa adanya pilihan sistem pertidaksamaan, kita tidak dapat menentukan secara pasti sistem mana yang benar. Namun, kita dapat mencoba mencari batasan kasar dari titik-titik tersebut. 

Dari titik (1, -1) dan (1, 1), kita bisa melihat bahwa nilai x cenderung positif dan nilai y bervariasi. Titik (2, 2) dan (3, 1) menunjukkan nilai x dan y positif.

Mari kita coba membuat beberapa hipotesis sistem pertidaksamaan:

Hipotesis 1: Batasan pada x dan y.
*   Jika ada pertidaksamaan $x \leq 3$ dan $y \leq 2$ (dari titik (2,2)), ini mungkin berlaku. Tapi titik (3,1) juga ada.
*   Jika ada pertidaksamaan $x \geq 1$ (dari (1,-1), (1,1)), ini juga mungkin.
*   Jika ada pertidaksamaan $y \geq -1$ (dari (1,-1)), ini juga mungkin.

Mari kita perhatikan pasangan titik yang memiliki nilai x sama:
*   (1, -1) dan (1, 1): Ini menunjukkan bahwa mungkin ada batasan pada nilai y untuk x=1, atau batasan pada x.

Mari kita coba pertidaksamaan yang umum:

Contoh sistem pertidaksamaan:
1.  $x \geq 1$
2.  $y \geq -1$
3.  $x + y \leq 2$ (menguji titik (1,1) -> 1+1=2, (1,-1)->1-1=0, (2,2)->2+2=4 (tidak memenuhi), (3,1)->3+1=4 (tidak memenuhi))
    Berarti $x+y 
    Kita perlu menemukan sistem yang mencakup SEMUA titik.

Mari kita periksa batasan yang jelas dari himpunan titik:
*   Nilai x minimum adalah 1, maksimum adalah 3. Jadi, mungkin $1 \leq x \leq 3$.
*   Nilai y minimum adalah -1, maksimum adalah 2. Jadi, mungkin $-1 \leq y \leq 2$.

Namun, sistem pertidaksamaan biasanya didefinisikan oleh garis-garis yang membatasi daerah solusi.

Misalkan kita coba sistem pertidaksamaan yang umum:

1.  $x \geq 1$ (karena semua x $\geq$ 1)
2.  $y \geq -1$ (karena y minimum adalah -1)

Sekarang kita perlu batasan lain untuk membatasi daerahnya.

Perhatikan titik (2,2). Jika ada pertidaksamaan seperti $y \leq x$, maka (2,2) memenuhi, tapi (3,1) tidak memenuhi (1 > 3 salah).
Jika pertidaksamaan $y \leq 2$, maka (2,2) memenuhi.
Jika pertidaksamaan $x \leq 3$, maka (3,1) memenuhi.

Mari kita coba beberapa kombinasi:

Kombinasi 1:
$x \geq 1$
$y \geq -1$
$x + y \leq 2$ (Titik (2,2) -> 4 \leq 2 salah)

Kombinasi 2:
$x \geq 1$
$y \leq 2$

Sekarang kita punya:
(1, -1): $1 \geq 1$ (benar), $-1 \leq 2$ (benar)
(1, 1): $1 \geq 1$ (benar), $1 \leq 2$ (benar)
(2, 2): $2 \geq 1$ (benar), $2 \leq 2$ (benar)
(3, 1): $3 \geq 1$ (benar), $1 \leq 2$ (benar)

Ini sudah mencakup semua titik, tapi daerah solusinya sangat luas. Biasanya himpunan titik yang diberikan adalah titik-titik sudut atau titik-titik penting dalam daerah solusi.

Mari kita coba cari batasan lain.

Perhatikan titik (3,1). Jika ada pertidaksamaan $x + y \geq 4$ (3+1=4), ini hanya berlaku untuk (3,1) dan (2,2) (2+2=4).

Jika kita perhatikan gradien antara titik-titik:
*   Antara (1,-1) dan (1,1): garis vertikal $x=1$.
*   Antara (1,1) dan (2,2): gradien = (2-1)/(2-1) = 1. Persamaan garis: $y - 1 = 1(x - 1) 
ightarrow y = x$.
*   Antara (2,2) dan (3,1): gradien = (1-2)/(3-2) = -1. Persamaan garis: $y - 2 = -1(x - 2) 
ightarrow y - 2 = -x + 2 
ightarrow y = -x + 4$.
*   Antara (3,1) dan (1,-1): gradien = (-1-1)/(1-3) = -2/-2 = 1. Persamaan garis: $y - 1 = 1(x - 3) 
ightarrow y = x - 2$.

Dari gradien dan titik-titik tersebut, kita bisa menduga sistem pertidaksamaan.

1.  Garis $x=1$. Titik-titik berada di sebelah kanan atau pada garis ini, jadi $x \geq 1$.
2.  Garis $y=x$ (atau $x-y=0$). Titik (1,-1): $1 - (-1) = 2 > 0$. Titik (1,1): $1-1=0$. Titik (2,2): $2-2=0$. Titik (3,1): $3-1=2 > 0$. Jadi, $x - y \geq 0$ atau $y \leq x$.
3.  Garis $y=-x+4$ (atau $x+y=4$). Titik (1,-1): $1+(-1)=0 < 4$. Titik (1,1): $1+1=2 < 4$. Titik (2,2): $2+2=4$. Titik (3,1): $3+1=4$. Jadi, $x + y \leq 4$.
4.  Garis $y=x-2$ (atau $x-y=2$). Titik (1,-1): $1-(-1)=2$. Titik (1,1): $1-1=0 < 2$. Titik (2,2): $2-2=0 < 2$. Titik (3,1): $3-1=2$. Jadi, $x - y \leq 2$.

Mari kita gabungkan pertidaksamaan yang kita dapatkan:
$x \geq 1$
$y \leq x$
$x + y \leq 4$
$x - y \leq 2$

Sekarang, kita perlu memeriksa apakah himpunan titik P = {(1, -1), (1, 1), (2, 2), (3, 1)} adalah himpunan penyelesaian dari sistem ini. Sebenarnya, himpunan titik yang diberikan mungkin adalah himpunan semua solusi integer dari suatu sistem pertidaksamaan, atau hanya beberapa titik sampel.

Jika kita mengasumsikan bahwa titik-titik yang diberikan adalah titik-titik sudut dari daerah solusi (atau titik-titik penting), maka sistem pertidaksamaan yang kita turunkan di atas harus mencakup semua titik ini.

Mari kita periksa kembali:

Pertidaksamaan yang mungkin:
1.  $x \geq 1$ (Memenuhi semua titik)
2.  $y \leq x$ (Memenuhi (1,1), (2,2), (3,1). Untuk (1,-1): $-1 \leq 1$ benar)
3.  $x + y \leq 4$ (Memenuhi (1,-1): $0\leq 4$, (1,1): $2\leq 4$, (2,2): $4\leq 4$, (3,1): $4\leq 4$. Semua benar)
4.  $x - y \leq 2$ (Memenuhi (1,1): $0\leq 2$, (2,2): $0\leq 2$. Untuk (1,-1): $1-(-1)=2 \leq 2$ benar. Untuk (3,1): $3-1=2 \leq 2$ benar. Semua benar)

Jadi, sistem pertidaksamaan:
$x \geq 1$
$y \leq x$
$x + y \leq 4$
$x - y \leq 2$

memiliki himpunan penyelesaian yang mencakup semua titik P. Jika himpunan P adalah *seluruh* himpunan penyelesaian, maka sistem ini kemungkinan besar adalah sistem yang dimaksud.

Karena soal hanya memberikan himpunan titik dan meminta sistem pertidaksamaan, kita perlu mencari sistem pertidaksamaan yang daerah solusinya memuat semua titik tersebut.

Tanpa pilihan jawaban, sulit untuk memberikan sistem pertidaksamaan yang spesifik. Namun, kita bisa menyimpulkan batasan yang harus dipenuhi oleh sistem tersebut.

Batasan yang harus dipenuhi oleh sistem pertidaksamaan adalah:
*   Semua titik harus berada di sebelah kanan atau pada garis $x=1$. 
*   Semua titik harus berada di bawah atau pada garis $y=x$. 
*   Semua titik harus berada di bawah atau pada garis $x+y=4$. 
*   Semua titik harus berada di bawah atau pada garis $x-y=2$.

Jika ada pilihan jawaban, kita bisa menguji titik-titik P terhadap setiap pilihan sistem pertidaksamaan.