Dengan induksi matematika, buktikan bahwa

Buktikan basis induksi, hipotesis induksi, dan langkah induktif.

Pembahasan

Kita akan membuktikan pernyataan 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n^2 untuk setiap n bilangan asli menggunakan induksi matematika.
Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n = 1, ruas kiri = 1. Ruas kanan = 1^2 = 1. Pernyataan berlaku untuk n = 1.
Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan pernyataan berlaku untuk n = k, yaitu 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2.
Langkah 3: Langkah Induktif
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan berlaku untuk n = k + 1. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)^2
Dari hipotesis induksi, kita tahu bahwa 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2. Maka, persamaan menjadi:
k^2 + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)^2
k^2 + (2k + 2 - 1) = (k + 1)^2
k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2
(k + 1)^2 = (k + 1)^2
Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka pernyataan tersebut berlaku untuk n = k + 1.
Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n^2 berlaku untuk setiap n bilangan asli.