Hitung dy/dx yang dinyatakan dalam t untuk fungsi-fungsi

a. dy/dx = (t-2)² / 2, b. dy/dx = -tan(t/2)

Pembahasan

Untuk menghitung dy/dx yang dinyatakan dalam t untuk fungsi-fungsi yang dinyatakan oleh persamaan parameter:

a. x=6(t-5), y=(t-2)³
Pertama, kita cari dx/dt dan dy/dt.
 dx/dt = d/dt [6(t-5)] = 6
 dy/dt = d/dt [(t-2)³] = 3(t-2)² * d/dt(t-2) = 3(t-2)² * 1 = 3(t-2)²

Kemudian, dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
dy/dx = 3(t-2)² / 6
dy/dx = (t-2)² / 2

b. x=sin 2t+2sin t, y=cos 2t-2cos t
Pertama, kita cari dx/dt dan dy/dt.
 dx/dt = d/dt [sin 2t + 2sin t]
 dx/dt = (cos 2t * 2) + 2cos t = 2cos 2t + 2cos t

 dy/dt = d/dt [cos 2t - 2cos t]
 dy/dt = (-sin 2t * 2) - 2(-sin t) = -2sin 2t + 2sin t

Kemudian, dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
dy/dx = (-2sin 2t + 2sin t) / (2cos 2t + 2cos t)
dy/dx = 2(-sin 2t + sin t) / 2(cos 2t + cos t)
dy/dx = (sin t - sin 2t) / (cos 2t + cos t)

Kita bisa menyederhanakan lebih lanjut menggunakan identitas trigonometri:
sin t - sin 2t = sin t - 2sin t cos t = sin t (1 - 2cos t)
cos 2t + cos t = (2cos²t - 1) + cos t = 2cos²t + cos t - 1 = (2cos t - 1)(cos t + 1)

Jadi, dy/dx = sin t (1 - 2cos t) / ((2cos t - 1)(cos t + 1))

Atau bisa juga menggunakan:
sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)
cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)

dy/dx = (2 cos((t+2t)/2) sin((t-2t)/2)) / (2 cos((t+2t)/2) cos((t-2t)/2))
dy/dx = (cos(3t/2) sin(-t/2)) / (cos(3t/2) cos(-t/2))
dy/dx = sin(-t/2) / cos(-t/2)
dy/dx = -tan(t/2)