Hitung nilai setiap limit trigonometri berikut. lim x->-2

Nilai limitnya adalah 1.

Pembahasan

Untuk menghitung limit trigonometri lim x->-2 (sin[2-2 cos(x+2)])/(x^2+4x+4), kita dapat menggunakan substitusi dan identitas trigonometri.

Misalkan y = x + 2. Ketika x -> -2, maka y -> 0. Maka x = y - 2.
Substitusi ke dalam persamaan:
lim y->0 (sin[2 - 2 cos(y)]) / ((y - 2)^2 + 4(y - 2) + 4)

Sederhanakan penyebut:
(y - 2)^2 + 4(y - 2) + 4 = (y^2 - 4y + 4) + (4y - 8) + 4 = y^2 - 4y + 4 + 4y - 8 + 4 = y^2

Jadi, limitnya menjadi:
lim y->0 (sin[2 - 2 cos(y)]) / y^2

Gunakan identitas trigonometri 1 - cos(y) = 2 sin^2(y/2):
sin[2 - 2 cos(y)] = sin[2(1 - cos(y))] = sin[2 * (2 sin^2(y/2))] = sin[4 sin^2(y/2)]

Limitnya menjadi:
lim y->0 sin[4 sin^2(y/2)] / y^2

Kita tahu bahwa untuk nilai z yang mendekati 0, sin(z) ≈ z.
Jadi, sin[4 sin^2(y/2)] ≈ 4 sin^2(y/2).

Limitnya menjadi:
lim y->0 4 sin^2(y/2) / y^2

Gunakan lagi sin(y/2) ≈ y/2:
sin^2(y/2) ≈ (y/2)^2 = y^2/4

Limitnya menjadi:
lim y->0 4 * (y^2/4) / y^2
lim y->0 y^2 / y^2
lim y->0 1

Hasilnya adalah 1.

Cara lain adalah menggunakan L'Hopital's Rule jika bentuknya 0/0.
Bentuk awal limit adalah: (sin[2 - 2 cos(-2+2)])/((-2)^2 + 4(-2) + 4) = (sin[2 - 2 cos(0)])/(4 - 8 + 4) = (sin[2 - 2*1])/(0) = sin(0)/0 = 0/0.

Jadi kita bisa menggunakan L'Hopital's Rule.
Turunan dari pembilang: d/dx [sin(2 - 2 cos(x+2))] = cos(2 - 2 cos(x+2)) * [-2 * (-sin(x+2))] = 2 cos(2 - 2 cos(x+2)) sin(x+2).
Turunan dari penyebut: d/dx [x^2 + 4x + 4] = 2x + 4.

Limit menjadi: lim x->-2 [2 cos(2 - 2 cos(x+2)) sin(x+2)] / (2x + 4).
Substitusi x = -2:
[2 cos(2 - 2 cos(0)) sin(0)] / (2(-2) + 4) = [2 cos(2 - 2) * 0] / (-4 + 4) = [2 cos(0) * 0] / 0 = 0/0.

Karena masih 0/0, kita gunakan L'Hopital's Rule lagi.

Turunan pembilang kedua: d/dx [2 cos(2 - 2 cos(x+2)) sin(x+2)]
= 2 [ -sin(2 - 2 cos(x+2)) * (2 sin(x+2)) * sin(x+2) + cos(2 - 2 cos(x+2)) * cos(x+2) ]
= 2 [ -2 sin^2(x+2) sin(2 - 2 cos(x+2)) + cos(2 - 2 cos(x+2)) cos(x+2) ]

Turunan penyebut kedua: d/dx [2x + 4] = 2.

Limit menjadi: lim x->-2 2 [ -2 sin^2(x+2) sin(2 - 2 cos(x+2)) + cos(2 - 2 cos(x+2)) cos(x+2) ] / 2
= lim x->-2 [ -2 sin^2(x+2) sin(2 - 2 cos(x+2)) + cos(2 - 2 cos(x+2)) cos(x+2) ]

Substitusi x = -2:
[ -2 sin^2(0) sin(2 - 2 cos(0)) + cos(2 - 2 cos(0)) cos(0) ]
= [ -2 * 0^2 * sin(2 - 2) + cos(2 - 2) * 1 ]
= [ 0 + cos(0) * 1 ]
= [ 1 * 1 ]
= 1.

Kedua metode menghasilkan jawaban yang sama.