Hitunglah lim _(x -> 0) (4 x)/(2 sin x+sin 2 x)=..

1

Pembahasan

Untuk menghitung limit fungsi tersebut saat x mendekati 0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Fungsi yang diberikan adalah:
lim (4x) / (2 sin x + sin 2x)  ketika x -> 0

Jika kita substitusi x = 0, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Pembilang: 4 * 0 = 0
Penyebut: 2 * sin(0) + sin(2 * 0) = 2 * 0 + 0 = 0

Karena bentuknya 0/0, kita dapat menggunakan Aturan L'Hopital, yang menyatakan bahwa limit dari rasio dua fungsi adalah sama dengan limit dari rasio turunan mereka.

Langkah 1: Cari turunan dari pembilang.
d/dx (4x) = 4

Langkah 2: Cari turunan dari penyebut.
d/dx (2 sin x + sin 2x)
Turunan dari 2 sin x adalah 2 cos x.
Turunan dari sin 2x adalah cos(2x) * 2 = 2 cos 2x.
Jadi, turunan penyebut adalah 2 cos x + 2 cos 2x.

Langkah 3: Terapkan Aturan L'Hopital.
lim (4) / (2 cos x + 2 cos 2x) ketika x -> 0

Langkah 4: Substitusi x = 0 ke dalam ekspresi yang baru.
= 4 / (2 cos(0) + 2 cos(2 * 0))
= 4 / (2 * 1 + 2 * 1)
= 4 / (2 + 2)
= 4 / 4
= 1

Alternatif menggunakan identitas trigonometri:
Kita tahu bahwa sin 2x = 2 sin x cos x.
Jadi, penyebutnya menjadi: 2 sin x + 2 sin x cos x = 2 sin x (1 + cos x).

Limit menjadi:
lim (4x) / [2 sin x (1 + cos x)] ketika x -> 0
= lim [2 * (2x) / (2 sin x)] * [1 / (1 + cos x)] ketika x -> 0

Kita tahu bahwa lim (sin x / x) = 1, jadi lim (x / sin x) = 1.
Dan lim (sin x / x) = 1, jadi lim (2x / sin x) = 2 * lim (x / sin x) = 2 * 1 = 2.

Jadi, limitnya menjadi:
= lim [2 * (2x / sin x)] * [1 / (1 + cos x)] ketika x -> 0
= 2 * (2) * [1 / (1 + cos 0)]
= 4 * [1 / (1 + 1)]
= 4 * (1 / 2)
= 2

Mari kita periksa kembali perhitungan L'Hopital karena hasilnya berbeda.

Kembali ke L'Hopital:
lim (4) / (2 cos x + 2 cos 2x) ketika x -> 0
= 4 / (2 cos(0) + 2 cos(0))
= 4 / (2 * 1 + 2 * 1)
= 4 / (2 + 2)
= 4 / 4
= 1

Mari kita periksa kembali metode identitas trigonometri.
lim (4x) / (2 sin x + sin 2x)
= lim (4x) / (2 sin x + 2 sin x cos x)
= lim (4x) / [2 sin x (1 + cos x)]
= lim [2 * (2x / sin x) * (1 / (1 + cos x))]
Kita tahu lim (sin x / x) = 1, maka lim (x / sin x) = 1.
Dan lim (cos x) = 1 saat x -> 0.
= 2 * [2 * 1] * [1 / (1 + 1)]
= 2 * 2 * (1/2)
= 4 * (1/2)
= 2

Ada perbedaan hasil. Mari kita teliti lagi perhitungan turunan.
Turunan sin(2x) adalah cos(2x) * 2. Benar.
Turunan 2 sin x adalah 2 cos x. Benar.
Jadi, 4 / (2 cos x + 2 cos 2x) adalah benar.
Substitusi x=0:
4 / (2 cos 0 + 2 cos 0) = 4 / (2*1 + 2*1) = 4 / 4 = 1.

Mari kita periksa identitas trigonometri lagi.
lim (4x) / (2 sin x + 2 sin x cos x)
= lim (4x) / [2 sin x (1 + cos x)]
= lim [4x / (2 sin x)] * [1 / (1 + cos x)]
= lim [2x / sin x] * [1 / (1 + cos x)]
Saat x -> 0, lim (sin x / x) = 1, jadi lim (x / sin x) = 1.
Dan lim (1 + cos x) = 1 + cos 0 = 1 + 1 = 2.
Jadi, limitnya adalah:
[2 * 1] * [1 / 2] = 2 * (1/2) = 1.

Kedua metode sekarang menghasilkan 1. Jadi jawabannya adalah 1.