Hitunglah lim _(x -> (pi)/(2)) (1-tan 2 x)/(2 tan x)

0

Pembahasan

Untuk menghitung limit $\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \tan 2x}{2 \tan x}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah $\frac{\infty}{\infty}$ saat $x \to \frac{\pi}{2}$.

Turunan dari pembilang (1 - tan 2x) adalah $-2 \sec^2(2x)$.
Turunan dari penyebut (2 tan x) adalah $2 \sec^2(x)$.

Maka, limitnya menjadi $\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-2 \sec^2(2x)}{2 \sec^2(x)}$.

Kita tahu bahwa $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$. Jadi, $\sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

Limitnya menjadi $\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-2 / \cos^2(2x)}{2 / \cos^2(x)} = \lim \limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-2 \cos^2(x)}{2 \cos^2(2x)} = \lim \limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos^2(x)}{\cos^2(2x)}$.

Saat $x \to \frac{\pi}{2}$, $\cos(x) \to 0$. Dan $\cos(2x) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(\pi) = -1$, sehingga $\cos^2(2x) = (-1)^2 = 1$.

Maka, limitnya adalah $\frac{-0^2}{1} = 0$.