Hitunglah lim _(x -> (pi)/(4)) (cos x-sin x)/(cos 2 x)=..

√2 / 2

Pembahasan

Untuk menghitung limit lim (x -> pi/4) (cos x - sin x) / (cos 2x), kita bisa menggunakan beberapa metode. Jika kita substitusi langsung x = pi/4, kita akan mendapatkan bentuk 0/0, yang menandakan kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar. 
Menggunakan identitas trigonometri: cos 2x = cos^2 x - sin^2 x = (cos x - sin x)(cos x + sin x). 
Maka, limitnya menjadi: lim (x -> pi/4) (cos x - sin x) / [(cos x - sin x)(cos x + sin x)]. 
Kita bisa mencoret faktor (cos x - sin x) dari pembilang dan penyebut (karena x mendekati pi/4, cos x - sin x tidak sama dengan 0). 
Limitnya menjadi: lim (x -> pi/4) 1 / (cos x + sin x). 
Sekarang kita substitusi x = pi/4: 1 / (cos(pi/4) + sin(pi/4)). 
Kita tahu bahwa cos(pi/4) = sin(pi/4) = sqrt(2)/2. 
Maka, hasilnya adalah 1 / (sqrt(2)/2 + sqrt(2)/2) = 1 / (2 * sqrt(2)/2) = 1 / sqrt(2). 
Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan sqrt(2): (1 * sqrt(2)) / (sqrt(2) * sqrt(2)) = sqrt(2) / 2.