Hitunglah limit berikut ini.lim x -> 0 akar(x+2-akar(2)/x

Hasil limit adalah $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Pembahasan

Untuk menghitung limit $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}$, kita dapat mencoba substitusi langsung. Jika kita substitusi $x=0$, kita mendapatkan $\frac{\sqrt{0+2}-\sqrt{2}}{0} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}}{0} = \frac{0}{0}$. Ini adalah bentuk tak tentu, yang berarti kita perlu menggunakan metode lain, seperti mengalikan dengan konjugatnya.

Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang, yaitu $\sqrt{x+2} + \sqrt{2}$:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x} \times \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}} $$ 

Sekarang, sederhanakan pembilangnya menggunakan rumus $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$$ = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+2})^2 - (\sqrt{2})^2}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})} $$ 

$$ = \lim_{x \to 0} \frac{(x+2) - 2}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})} $$ 

$$ = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})} $$ 

Kita bisa membatalkan $x$ di pembilang dan penyebut (karena $x \to 0$ tetapi $x \neq 0$):

$$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}} $$ 

Sekarang, substitusikan $x=0$ ke dalam ekspresi yang disederhanakan:

$$ = \frac{1}{\sqrt{0+2}+\sqrt{2}} $$ 

$$ = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} $$ 

$$ = \frac{1}{2\sqrt{2}} $$ 

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{2}$:

$$ = \frac{1}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $$ 

$$ = \frac{\sqrt{2}}{2 \times 2} $$ 

$$ = \frac{\sqrt{2}}{4} $$ 

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah $\frac{\sqrt{2}}{4}$.