Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=4x-x^2,

Luas = integral dari 1 sampai 3 dari (4x - x^2) dx = [2x^2 - (1/3)x^3] | dari 1 sampai 3 = (18 - 9) - (2 - 1/3) = 9 - 5/3 = 22/3.

Pembahasan

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x - x^2, garis x = 1, x = 3, dan sumbu X, kita perlu mengintegralkan fungsi y terhadap x dari x = 1 sampai x = 3. Pertama, kita pastikan bahwa kurva berada di atas sumbu X dalam interval ini. Dengan mencari akar-akar dari 4x - x^2 = 0, kita dapatkan x(4-x) = 0, yaitu x = 0 dan x = 4. Karena interval [1, 3] berada di antara akar-akar ini, kurva berada di atas sumbu X. 
Luas = integral dari 1 sampai 3 dari (4x - x^2) dx. 
Integral dari 4x adalah 2x^2. 
Integral dari -x^2 adalah - (1/3)x^3. 
Maka, integralnya adalah [2x^2 - (1/3)x^3] dari 1 sampai 3. 
Evaluasi pada batas atas (x=3): 2(3)^2 - (1/3)(3)^3 = 2(9) - (1/3)(27) = 18 - 9 = 9. 
Evaluasi pada batas bawah (x=1): 2(1)^2 - (1/3)(1)^3 = 2(1) - (1/3)(1) = 2 - 1/3 = 5/3. 
Luas = 9 - 5/3 = 27/3 - 5/3 = 22/3.