Hitunglah nilai dari limit berikut. limit n mendekati tak

Divergen ke tak hingga.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai dari limit $\lim_{n \to \infty} \frac{(-3)^n}{2^n + 1}$, kita perlu menganalisis perilaku suku pembilang dan penyebut saat n mendekati tak hingga.

Pembilang: $(-3)^n$. Nilai ini akan berosilasi antara positif dan negatif, dan besar nilainya akan terus meningkat secara eksponensial (misalnya, -3, 9, -27, 81, ...).

Penyebut: $2^n + 1$. Nilai ini akan terus meningkat secara eksponensial menuju tak hingga positif.

Ketika kita membagi suku yang nilainya berosilasi dan membesar secara eksponensial dengan suku yang membesar secara eksponensial, kita perlu mempertimbangkan rasio dari basis eksponensialnya.

Jika kita membagi kedua suku dengan $3^n$ (basis terbesar di pembilang), kita mendapatkan:
$\lim_{n \to \infty} \frac{(-3)^n/3^n}{(2^n+1)/3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{(2/3)^n + (1/3)^n}$

Saat n mendekati tak hingga:
- $(-1)^n$ akan terus berosilasi antara 1 dan -1.
- $(2/3)^n$ akan mendekati 0 karena basisnya kurang dari 1.
- $(1/3)^n$ akan mendekati 0 karena basisnya kurang dari 1.

Jadi, limitnya menjadi $\frac{\text{osilasi antara 1 dan -1}}{0 + 0}$, yang mengarah pada tak hingga atau minus tak hingga, tergantung pada nilai n.

Namun, jika kita melihat rasio $ rac{(-3)^n}{2^n} = (-rac{3}{2})^n $, karena basis $-rac{3}{2}$ memiliki nilai absolut lebih besar dari 1, maka nilai dari $(-rac{3}{2})^n$ akan menuju tak hingga (berosilasi antara positif dan negatif besar).

Karena penyebutnya $2^n+1$ tumbuh lebih lambat dibandingkan dengan pembilang $(-3)^n$ (terutama karena basis pada pembilang lebih besar dalam nilai absolut), nilai limitnya tidak akan konvergen ke suatu angka. Nilai absolut dari $(-3)^n$ tumbuh lebih cepat daripada $2^n+1$. Oleh karena itu, limit ini divergen ke tak hingga atau minus tak hingga.