Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut: lim x->0 (sin

Nilai limitnya adalah -153.6.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit. Jika substitusi langsung x=0 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menyederhanakannya.

lim x->0 (sin 2x + sin 6x + sin 10x - sin 18x) / (3sin x - sin 3x)

Kita bisa menggunakan sifat lim x->0 (sin ax)/bx = a/b dan lim x->0 (sin ax)/x = a.
Namun, di sini kita memiliki penjumlahan dan pengurangan sinus serta sinus 3x di penyebut. Kita bisa menggunakan identitas:
sin 3x = 3 sin x - 4 sin³ x

Jadi, penyebutnya menjadi: 3 sin x - (3 sin x - 4 sin³ x) = 4 sin³ x

Sekarang kita bagi setiap suku di pembilang dengan x dan penyebut dengan x:
lim x->0 [ (sin 2x)/x + (sin 6x)/x + (sin 10x)/x - (sin 18x)/x ] / [ (3sin x)/x - (sin 3x)/x ]

Menggunakan lim x->0 (sin ax)/x = a:
= [ 2 + 6 + 10 - 18 ] / [ 3(1) - 3 ]
= [ 18 - 18 ] / [ 3 - 3 ]
= 0/0

Ini menunjukkan kita perlu pendekatan yang berbeda atau menggunakan aturan L'Hopital, atau menyederhanakan pembilang lebih lanjut. Cara yang lebih tepat adalah membagi pembilang dan penyebut dengan x dan menggunakan lim x->0 sin(ax)/x = a.

lim x->0 (sin 2x)/x + (sin 6x)/x + (sin 10x)/x - (sin 18x)/x = 2 + 6 + 10 - 18 = 0

Untuk penyebutnya, kita gunakan identitas sin 3x = 3sin x - 4sin³x.
lim x->0 (3sin x - sin 3x) = lim x->0 (3sin x - (3sin x - 4sin³x)) = lim x->0 (4sin³x)

lim x->0 (4sin³x)/x = lim x->0 4 * (sin x/x) * sin²x = 4 * 1 * 0² = 0

Karena hasilnya 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar lebih lanjut dengan membagi pembilang dan penyebut dengan x^3 (karena suku terakhir di penyebut adalah sin 3x yang mendekati 3x dan 3x^3). Namun, cara yang lebih umum adalah membagi dengan x untuk setiap suku sinus di pembilang dan penyebut, lalu menggunakan sifat limit.

lim x->0 (sin 2x)/x = 2
lim x->0 (sin 6x)/x = 6
lim x->0 (sin 10x)/x = 10
lim x->0 (sin 18x)/x = 18

lim x->0 (3 sin x)/x = 3
lim x->0 (sin 3x)/x = 3

Perhatikan bahwa lim x->0 (sin ax)/(bx) = a/b.

lim x->0 (sin 2x)/(3 sin x) = lim x->0 (2x)/(3x) = 2/3

Cara yang lebih akurat untuk limit seperti ini adalah memfaktorkan atau menggunakan ekspansi deret Taylor atau aturan L'Hopital.

Menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya 0/0:
Turunan pembilang: 2cos(2x) + 6cos(6x) + 10cos(10x) - 18cos(18x)
Turunan penyebut: 3cos(x) - 3cos(3x)

Substitusi x=0:
Pembilang: 2cos(0) + 6cos(0) + 10cos(0) - 18cos(0) = 2(1) + 6(1) + 10(1) - 18(1) = 2 + 6 + 10 - 18 = 0
Penyebut: 3cos(0) - 3cos(0) = 3(1) - 3(1) = 0

Masih 0/0, gunakan L'Hopital lagi.
Turunan kedua pembilang: -4sin(2x) - 36sin(6x) - 100sin(10x) + 324sin(18x)
Turunan kedua penyebut: -3sin(x) + 9sin(3x)

Substitusi x=0:
Pembilang: 0
Penyebut: 0

Sekali lagi, gunakan L'Hopital.
Turunan ketiga pembilang: -8cos(2x) - 216cos(6x) - 1000cos(10x) + 5832cos(18x)
Turunan ketiga penyebut: -3cos(x) - 27cos(3x)

Substitusi x=0:
Pembilang: -8(1) - 216(1) - 1000(1) + 5832(1) = -8 - 216 - 1000 + 5832 = 4608
Penyebut: -3(1) - 27(1) = -3 - 27 = -30

Hasil limit = 4608 / -30 = -153.6

Mari kita cek kembali menggunakan pendekatan lain.
Kita tahu lim x->0 sin(ax)/x = a.
Kita juga tahu lim x->0 sin(ax)/sin(bx) = a/b.
Dan lim x->0 sin(3x)/x = 3.
lim x->0 (sin 3x) / (3x) = 1.

lim x->0 (sin 2x + sin 6x + sin 10x - sin 18x) / (3sin x - sin 3x)

Kita gunakan identitas jumlah dan selisih sinus, namun itu akan rumit.
Cara yang paling umum adalah membagi pembilang dan penyebut dengan x:

lim x->0 [ (sin 2x)/x + (sin 6x)/x + (sin 10x)/x - (sin 18x)/x ] / [ (3sin x)/x - (sin 3x)/x ]
= [2 + 6 + 10 - 18] / [3(1) - 3] = 0/0

Perhatikan penyebut: 3sin x - sin 3x = 3sin x - (3sin x - 4sin³x) = 4sin³x.
Jadi, lim x->0 (4sin³x)/x = lim x->0 4 * (sin x/x) * sin²x = 4 * 1 * 0 = 0.

Sekarang kita fokus pada pembilang dengan pembagian x:
lim x->0 [(sin 2x)/x + (sin 6x)/x + (sin 10x)/x - (sin 18x)/x] = 2 + 6 + 10 - 18 = 0.

Karena baik pembilang maupun penyebut mendekati 0, dan penyebut adalah 4sin³x, kita perlu membagi pembilang dan penyebut dengan x³ untuk melihat perilaku yang lebih baik.

lim x->0 [ (sin 2x)/x³ + (sin 6x)/x³ + (sin 10x)/x³ - (sin 18x)/x³ ] / [ (4sin³x)/x³ ]

Untuk suku (sin ax)/x³: gunakan ekspansi sin ax ≈ ax - (ax)³/6 + ...
(sin ax)/x³ ≈ (ax)/x³ = a/x²
Ini akan menuju tak hingga, yang berarti ada kesalahan dalam asumsi awal atau cara pengerjaan.

Kembali ke aturan L'Hopital yang telah dilakukan dua kali dan masih 0/0, maka turunan ketiga adalah cara yang benar.

Langkah 1 (L'Hopital): P' = 2cos(2x) + 6cos(6x) + 10cos(10x) - 18cos(18x), Q' = 3cos(x) - 3cos(3x). Nilai di x=0 adalah 0/0.
Langkah 2 (L'Hopital): P'' = -4sin(2x) - 36sin(6x) - 100sin(10x) + 324sin(18x), Q'' = -3sin(x) + 9sin(3x). Nilai di x=0 adalah 0/0.
Langkah 3 (L'Hopital): P''' = -8cos(2x) - 216cos(6x) - 1000cos(10x) + 5832cos(18x), Q''' = -3cos(x) - 27cos(3x).
Nilai di x=0:
P'''(0) = -8 - 216 - 1000 + 5832 = 4608.
Q'''(0) = -3 - 27 = -30.
Hasil = 4608 / -30 = -153.6

Ada cara yang lebih sederhana menggunakan sifat limit:
lim x->0 sin(kx)/x = k
lim x->0 sin(kx)/sin(mx) = k/m

Kita punya:
lim x->0 (sin 2x + sin 6x + sin 10x - sin 18x) / (3sin x - sin 3x)

Perhatikan penyebut: 3sin x - sin 3x = 3sin x - (3sin x - 4sin³ x) = 4sin³ x
Jadi limit penyebut adalah lim x->0 4sin³x = 0.

Perhatikan pembilang: lim x->0 (sin 2x + sin 6x + sin 10x - sin 18x) = 0 + 0 + 0 - 0 = 0.

Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan x:
lim x->0 [ (sin 2x)/x + (sin 6x)/x + (sin 10x)/x - (sin 18x)/x ] / [ (3sin x)/x - (sin 3x)/x ]
= [2 + 6 + 10 - 18] / [3 - 3] = 0/0

Mari kita coba pendekatan lain dengan membagi dengan x di setiap suku.
lim x->0 (sin 2x)/x = 2
lim x->0 (sin 6x)/x = 6
lim x->0 (sin 10x)/x = 10
lim x->0 (sin 18x)/x = 18

lim x->0 (3sin x)/x = 3
lim x->0 (sin 3x)/x = 3

Jadi, pembilang dibagi x adalah 2+6+10-18 = 0.
Penyebut dibagi x adalah 3-3 = 0.

Ini tetap mengarah ke 0/0. Menggunakan L'Hopital adalah metode yang paling pasti.

Jawaban hasil dari aturan L'Hopital adalah -153.6.