Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:limit x->3 sin

1

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit fungsi lim x->3 sin(√(x+1)-2)/(x-3), kita dapat menggunakan substitusi langsung atau metode L'Hopital karena bentuknya akan menjadi 0/0. Namun, cara yang lebih umum untuk soal semacam ini adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan dari penyebut atau menggunakan substitusi.

Mari kita gunakan metode substitusi.
Misalkan u = x - 3, maka x = u + 3.
Ketika x mendekati 3, u mendekati 0.
Limit menjadi: lim u->0 sin(√(u+3+1)-2)/u = lim u->0 sin(√(u+4)-2)/u

Sekarang, kita kalikan dengan bentuk sekawan dari pembilang: (√(u+4)+2)/(√(u+4)+2)
= lim u->0 [sin(√(u+4)-2) * (√(u+4)+2)] / [u * (√(u+4)+2)]

Perhatikan bagian (√(u+4)-2)(√(u+4)+2) = (u+4) - 4 = u.
Jadi, limit menjadi: lim u->0 [sin(√(u+4)-2) * (√(u+4)+2)] / u

Kita bisa memisahkan limit ini menjadi dua bagian:
lim u->0 [sin(√(u+4)-2) / (√(u+4)-2)] * lim u->0 [(√(u+4)-2) / u] * lim u->0 (√(u+4)+2)

Bagian pertama: lim v->0 sin(v)/v = 1 (dengan v = √(u+4)-2, ketika u->0, v->0)
Bagian kedua: lim u->0 (√(u+4)-2)/u = lim u->0 (u+4-4)/(u(√(u+4)+2)) = lim u->0 u/(u(√(u+4)+2)) = lim u->0 1/(√(u+4)+2) = 1/(√4+2) = 1/4
Bagian ketiga: lim u->0 (√(u+4)+2) = √4+2 = 4

Jadi, hasil limitnya adalah 1 * (1/4) * 4 = 1.