Tentukan nilai a dan b jika x^2+5x+6 merupakan faktor dari

Nilai a = 10 dan b = 30.

Pembahasan

Diketahui bahwa x^2+5x+6 merupakan faktor dari x^3+ax^2+31x+b. Ini berarti bahwa akar-akar dari x^2+5x+6 juga merupakan akar dari x^3+ax^2+31x+b.

Langkah 1: Faktorkan x^2+5x+6.
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan 5. Bilangan tersebut adalah 2 dan 3.
Jadi, x^2+5x+6 = (x+2)(x+3).

Langkah 2: Tentukan akar-akar dari faktor tersebut.
Akar-akarnya adalah x = -2 dan x = -3.

Langkah 3: Substitusikan akar-akar tersebut ke dalam polinomial x^3+ax^2+31x+b dan setel sama dengan 0.

Untuk x = -2:
(-2)^3 + a(-2)^2 + 31(-2) + b = 0
-8 + 4a - 62 + b = 0
4a + b - 70 = 0
4a + b = 70  ...(Persamaan 1)

Untuk x = -3:
(-3)^3 + a(-3)^2 + 31(-3) + b = 0
-27 + 9a - 93 + b = 0
9a + b - 120 = 0
9a + b = 120  ...(Persamaan 2)

Langkah 4: Selesaikan sistem persamaan linear untuk menemukan nilai a dan b.
Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(9a + b) - (4a + b) = 120 - 70
5a = 50
a = 10

Substitusikan nilai a = 10 ke dalam Persamaan 1:
4(10) + b = 70
40 + b = 70
b = 30

Jadi, nilai a adalah 10 dan nilai b adalah 30.