Hitunglah nilai limit : lim x -> 0 (x-2 sin x)/(tan x)=...

Nilai limit $\lim_{x \to 0} \frac{x - 2 \text{sin } x}{\text{tan } x}$ adalah -1, yang diperoleh menggunakan Aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $x$.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit $\lim_{x \to 0} \frac{x - 2 \text{sin } x}{\text{tan } x}$, kita dapat langsung mensubstitusikan $x=0$ ke dalam fungsi. Namun, jika kita melakukannya, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0 - 2 \text{sin } 0}{\text{tan } 0} = \frac{0 - 0}{0} = \frac{0}{0}$.

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu, kita dapat menggunakan Aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $x$ (suku dengan pangkat terendah atau suku yang mendekati nol).

Metode 1: Menggunakan Aturan L'Hôpital
Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit di sisi kanan ada.

Dalam kasus ini, $f(x) = x - 2 	ext{sin } x$ dan $g(x) = 	ext{tan } x$.
Turunan pertama dari $f(x)$ adalah $f'(x) = \frac{d}{dx}(x - 2 	ext{sin } x) = 1 - 2 	ext{cos } x$.
Turunan pertama dari $g(x)$ adalah $g'(x) = \frac{d}{dx}(	ext{tan } x) = 	ext{sec}^2 x$.

Sekarang, kita hitung limit dari $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ saat $x \to 0$:
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \text{cos } x}{\text{sec}^2 x}$

Substitusikan $x=0$: $\text{cos } 0 = 1$ dan $\text{sec } 0 = \frac{1}{\text{cos } 0} = \frac{1}{1} = 1$, sehingga $\text{sec}^2 0 = 1^2 = 1$.

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - 2(1)}{1^2} = \frac{1 - 2}{1} = \frac{-1}{1} = -1$.

Metode 2: Manipulasi Aljabar
Kita dapat membagi pembilang dan penyebut dengan $x$:
$\lim_{x \to 0} \frac{x - 2 \text{sin } x}{\text{tan } x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x} - \frac{2 \text{sin } x}{x}}{\frac{\text{tan } x}{x}}$

Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\text{sin } x}{x} = 1$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\text{tan } x}{x} = 1$.

Jadi, ekspresi tersebut menjadi:
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \left(\frac{\text{sin } x}{x}\right)}{\left(\frac{\text{tan } x}{x}\right)}$

Substitusikan nilai limit yang diketahui:
$\frac{1 - 2(1)}{1} = \frac{1 - 2}{1} = -1$.

Kedua metode memberikan hasil yang sama. Jadi, nilai limitnya adalah -1.