Hitunglah nilai setiap limit fungsi berikut. lim x->0

Nilai limitnya adalah -1/4.

Pembahasan

Untuk menghitung limit $\lim_{x\to 0} \frac{x^3}{\sin(2x) - \tan(2x)}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau ekspansi deret Taylor karena bentuknya adalah $\frac{0}{0}$.

**Metode 1: Aturan L'Hopital**
Karena $\lim_{x\to 0} x^3 = 0$ dan $\lim_{x\to 0} (\sin(2x) - \tan(2x)) = \sin(0) - \tan(0) = 0 - 0 = 0$, kita bisa menerapkan aturan L'Hopital.

Turunan dari pembilang: $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$.
Turunan dari penyebut: $\frac{d}{dx}(\sin(2x) - \tan(2x)) = 2\cos(2x) - 2\sec^2(2x)$.

Maka limitnya menjadi: $\lim_{x\to 0} \frac{3x^2}{2\cos(2x) - 2\sec^2(2x)}$.
Ini masih berbentuk $\frac{0}{0}$. Terapkan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$.
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(2\cos(2x) - 2\sec^2(2x)) = -4\sin(2x) - 2(2\sec(2x))(\sec(2x)\tan(2x))(2) = -4\sin(2x) - 8\sec^2(2x)\tan(2x)$.

Maka limitnya menjadi: $\lim_{x\to 0} \frac{6x}{-4\sin(2x) - 8\sec^2(2x)\tan(2x)}$.
Ini masih berbentuk $\frac{0}{0}$. Terapkan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(6x) = 6$.
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(-4\sin(2x) - 8\sec^2(2x)\tan(2x))$.
Turunan $-4\sin(2x)$ adalah $-8\cos(2x)$.
Untuk $-8\sec^2(2x)\tan(2x)$, kita gunakan aturan perkalian:
$-8 [ (2\sec(2x))(2\sec(2x)\tan(2x))(\tan(2x)) + \sec^2(2x)(2\sec^2(2x)) ]$
$= -8 [ 4\sec^2(2x)\tan^2(2x) + 2\sec^4(2x) ]$
$= -32\sec^2(2x)\tan^2(2x) - 16\sec^4(2x)$.

Maka limitnya menjadi: $\lim_{x\to 0} \frac{6}{-8\cos(2x) - 32\sec^2(2x)\tan^2(2x) - 16\sec^4(2x)}$.
Substitusikan $x=0$:
$\frac{6}{-8\cos(0) - 32\sec^2(0)\tan^2(0) - 16\sec^4(0)}$
$= \frac{6}{-8(1) - 32(1)^2(0)^2 - 16(1)^4}$
$= \frac{6}{-8 - 0 - 16}$
$= \frac{6}{-24}$
$= -\frac{1}{4}$.

**Metode 2: Ekspansi Deret Taylor (menggunakan $\sin u \approx u - \frac{u^3}{6}$ dan $\tan u \approx u + \frac{u^3}{3}$ untuk $u \to 0$)**
Untuk penyebut, $\sin(2x) - \tan(2x)$.
$\sin(2x) \approx (2x) - \frac{(2x)^3}{6} = 2x - \frac{8x^3}{6} = 2x - \frac{4x^3}{3}$.
$\tan(2x) \approx (2x) + \frac{(2x)^3}{3} = 2x + \frac{8x^3}{3}$.

Maka, $\sin(2x) - \tan(2x) \approx (2x - \frac{4x^3}{3}) - (2x + \frac{8x^3}{3})$
$= 2x - \frac{4x^3}{3} - 2x - \frac{8x^3}{3}$
$= -\frac{12x^3}{3}$
$= -4x^3$.

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x\to 0} \frac{x^3}{\sin(2x) - \tan(2x)} \approx \lim_{x\to 0} \frac{x^3}{-4x^3}$
$= \lim_{x\to 0} -\frac{1}{4}$
$= -\frac{1}{4}$.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.