Hitunglah setiap limit berikut ini. a. lim x->0 (tan

a. 2/3, b. 5/3

Pembahasan

Untuk menghitung limit yang diberikan, kita akan menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar karena bentuk limitnya adalah 0/0 saat x mendekati 0.

**a. lim x->0 (tan 2x)/(sin 3x)**

Karena saat x=0, tan(0)=0 dan sin(0)=0, kita gunakan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut:
Turunan dari tan(2x) adalah 2 * sec^2(2x)
Turunan dari sin(3x) adalah 3 * cos(3x)

Maka limitnya menjadi:
lim x->0 (2 * sec^2(2x)) / (3 * cos(3x))

Substitusikan x=0:
(2 * sec^2(0)) / (3 * cos(0))
= (2 * (1)^2) / (3 * 1)
= 2/3

**b. lim x->0 (tan 5x)/(tan 3x)**

Karena saat x=0, tan(0)=0 dan tan(0)=0, kita gunakan aturan L'Hopital:
Turunan dari tan(5x) adalah 5 * sec^2(5x)
Turunan dari tan(3x) adalah 3 * sec^2(3x)

Maka limitnya menjadi:
lim x->0 (5 * sec^2(5x)) / (3 * sec^2(3x))

Substitusikan x=0:
(5 * sec^2(0)) / (3 * sec^2(0))
= (5 * (1)^2) / (3 * (1)^2)
= 5/3

Alternatif untuk (b) menggunakan sifat limit lim x->0 (tan ax)/(ax) = 1:
lim x->0 (tan 5x)/(tan 3x) = lim x->0 [ (tan 5x)/(5x) * (5x)/(3x) * (3x)/(tan 3x) ]
= [ lim x->0 (tan 5x)/(5x) ] * (5/3) * [ lim x->0 (3x)/(tan 3x) ]
= 1 * (5/3) * 1
= 5/3