Hitunglah setiap limit berikut ini. limit x->1

Nilai limitnya adalah 2/pi.

Pembahasan

Kita diminta untuk menghitung limit dari fungsi (1 - x^2) / sin(pi - pi x) saat x mendekati 1.

lim (x->1) [(1 - x^2) / sin(pi - pi x)]

Jika kita substitusikan x = 1 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
1 - 1^2 = 1 - 1 = 0
sin(pi - pi*1) = sin(pi - pi) = sin(0) = 0

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan Aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Metode 1: Aturan L'Hopital
Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x.
Turunan pembilang (1 - x^2) adalah -2x.
Turunan penyebut sin(pi - pi x) adalah cos(pi - pi x) * (-pi).

Jadi, limitnya menjadi:
lim (x->1) [-2x / (-pi * cos(pi - pi x))]

Sekarang substitusikan x = 1:
-2(1) / (-pi * cos(pi - pi * 1))
-2 / (-pi * cos(0))
-2 / (-pi * 1)
-2 / -pi
= 2/pi

Metode 2: Manipulasi Aljabar
Kita bisa memfaktorkan pembilang: 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x).
Kita juga bisa menggunakan identitas trigonometri sin(pi - theta) = sin(theta).
Jadi, sin(pi - pi x) = sin(pi x).

limit x->1 [(1 - x)(1 + x) / sin(pi x)]

Kita tahu bahwa limit [sin(u) / u] saat u mendekati 0 adalah 1.
Kita bisa mengatur ulang ekspresi:
= limit x->1 [(1 - x) / sin(pi x) * (1 + x)]

Kita perlu membuat bentuk [sin(pi x) / (pi x)] atau [pi x / sin(pi x)].
Mari kita manipulasi bagian (1 - x) / sin(pi x).
Kita bisa menulis (1 - x) sebagai -(x - 1).

limit x->1 [-(x - 1) * (1 + x) / sin(pi x)]

Kita bisa memisahkan limitnya:
= limit x->1 [-(x - 1) / sin(pi x)] * limit x->1 [1 + x]

Untuk limit pertama, kita substitusi u = pi x. Saat x -> 1, u -> pi.
Ini tidak membantu secara langsung.

Mari kita coba manipulasi lain:
limit x->1 [(1 - x)(1 + x) / sin(pi(1 - x))]
Karena sin(pi - pi x) = sin(pi x), dan sin(pi x) = sin(pi(1-x))
Jadi,
limit x->1 [(1 - x)(1 + x) / sin(pi(1 - x))]

Kita tahu bahwa limit [sin(theta) / theta] saat theta -> 0 adalah 1.
Mari kita substitusi y = 1 - x. Saat x -> 1, y -> 0.

limit y->0 [y * (1 + (1 - y)) / sin(pi y)]
= limit y->0 [y * (2 - y) / sin(pi y)]
= limit y->0 [(2y - y^2) / sin(pi y)]

Kita bisa menulis ulang sebagai:
= limit y->0 [y * (2 - y)] / [sin(pi y) / (pi y) * pi y]
= limit y->0 [(2y - y^2) / (pi y * (sin(pi y) / (pi y)))]

Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan y:
= limit y->0 [(2 - y) / (pi * (sin(pi y) / (pi y)))]

Sekarang, substitusikan y = 0:
= (2 - 0) / (pi * (sin(0) / 0)) --> ini tidak benar karena sin(0)/0 adalah bentuk tak tentu.

Kembali ke:
limit y->0 [(2y - y^2) / sin(pi y)]

Kita gunakan limit standar: limit u->0 sin(u)/u = 1.
Jadi, limit u->0 u/sin(u) = 1.

limit y->0 [y * (2 - y)] / [sin(pi y)]
= limit y->0 [y / sin(pi y)] * (2 - y)

Kita perlu membuat bentuk [pi y / sin(pi y)]:
= limit y->0 [pi y / sin(pi y)] * (1/pi) * (2 - y)

Saat y -> 0, pi y -> 0.
Maka, limit [pi y / sin(pi y)] adalah 1.

= 1 * (1/pi) * (2 - 0)
= (1/pi) * 2
= 2/pi

Kedua metode memberikan hasil yang sama.