Tentukan nilai p yang positif agar lingkaran L ekuivalen

Nilai p yang positif adalah 2√2.

Pembahasan

Persamaan lingkaran L adalah x^2 + y^2 - 2px + q = 0.
Jari-jari lingkaran adalah r = 2.
Lingkaran menyinggung garis y = x.
Kita perlu mencari nilai p yang positif.

Langkah 1: Ubah persamaan lingkaran ke bentuk standar (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.
Dari persamaan x^2 + y^2 - 2px + q = 0:
Kita bisa melengkapkan kuadrat:
(x^2 - 2px) + y^2 = -q
(x^2 - 2px + p^2) + y^2 = -q + p^2
(x - p)^2 + y^2 = p^2 - q

Dari sini, kita tahu bahwa pusat lingkaran adalah (p, 0) dan jari-jari kuadratnya adalah r^2 = p^2 - q.
Kita diberikan bahwa jari-jari r = 2, jadi r^2 = 4.
Maka, p^2 - q = 4.

Langkah 2: Gunakan kondisi menyinggung garis.
Lingkaran menyinggung garis y = x, atau x - y = 0.
Jarak dari pusat lingkaran (p, 0) ke garis x - y = 0 harus sama dengan jari-jari lingkaran (r = 2).

Rumus jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah:
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Dalam kasus ini:
(x0, y0) = (p, 0)
Garis adalah x - y = 0, jadi A = 1, B = -1, C = 0.
Jarak d = r = 2.

Substitusikan ke dalam rumus jarak:
2 = |(1)(p) + (-1)(0) + 0| / sqrt(1^2 + (-1)^2)
2 = |p| / sqrt(1 + 1)
2 = |p| / sqrt(2)

Kalikan kedua sisi dengan sqrt(2):
2 * sqrt(2) = |p|

Ini berarti p = 2*sqrt(2) atau p = -2*sqrt(2).

Langkah 3: Periksa apakah nilai p memenuhi kondisi jari-jari.
Kita tahu bahwa r^2 = p^2 - q = 4.
Jika p = 2*sqrt(2):
p^2 = (2*sqrt(2))^2 = 4 * 2 = 8.
Maka, 8 - q = 4, sehingga q = 4.
Persamaan lingkaran menjadi x^2 + y^2 - 4*sqrt(2)*x + 4 = 0.
Jari-jari = sqrt(8 - 4) = sqrt(4) = 2. Ini valid.

Jika p = -2*sqrt(2):
p^2 = (-2*sqrt(2))^2 = 4 * 2 = 8.
Maka, 8 - q = 4, sehingga q = 4.
Persamaan lingkaran menjadi x^2 + y^2 + 4*sqrt(2)*x + 4 = 0.
Jari-jari = sqrt(8 - 4) = sqrt(4) = 2. Ini juga valid.

Soal meminta nilai p yang positif.
Oleh karena itu, nilai p yang positif adalah 2*sqrt(2).