Hitunglah volum benda putar yang terjadi apabila daerah

Volume benda putar adalah (1503/5)pi.

Pembahasan

Untuk menghitung volume benda putar yang terjadi ketika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2 + x^2 dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X pada interval 1 <= x <= 4, kita akan menggunakan metode cakram/cincin.

Rumus volume benda putar mengelilingi sumbu X adalah:
V = integral [pi * (y)^2] dx

Dalam kasus ini, y = 2 + x^2.
Jadi, V = integral [pi * (2 + x^2)^2] dx dari x=1 sampai x=4.

Langkah 1: Kuadratkan fungsi y.
(2 + x^2)^2 = 2^2 + 2*(2)*(x^2) + (x^2)^2 = 4 + 4x^2 + x^4.

Langkah 2: Integralkan hasil kuadrat.
Integral (4 + 4x^2 + x^4) dx = 4x + (4/3)x^3 + (1/5)x^5.

Langkah 3: Terapkan batas integrasi (dari 1 sampai 4).
Kita perlu mengevaluasi F(x) = 4x + (4/3)x^3 + (1/5)x^5 pada x=4 dan x=1, lalu kurangkan F(4) - F(1).

Evaluasi pada x = 4:
F(4) = 4(4) + (4/3)(4)^3 + (1/5)(4)^5
F(4) = 16 + (4/3)(64) + (1/5)(1024)
F(4) = 16 + 256/3 + 1024/5
F(4) = (16 * 15 + 256 * 5 + 1024 * 3) / 15
F(4) = (240 + 1280 + 3072) / 15
F(4) = 4592 / 15

Evaluasi pada x = 1:
F(1) = 4(1) + (4/3)(1)^3 + (1/5)(1)^5
F(1) = 4 + 4/3 + 1/5
F(1) = (4 * 15 + 4 * 5 + 1 * 3) / 15
F(1) = (60 + 20 + 3) / 15
F(1) = 83 / 15

Langkah 4: Hitung volume.
V = pi * [F(4) - F(1)]
V = pi * [4592/15 - 83/15]
V = pi * [(4592 - 83) / 15]
V = pi * [4509 / 15]

Sederhanakan pecahan 4509/15. Keduanya habis dibagi 3:
4509 / 3 = 1503
15 / 3 = 5

Maka, V = pi * (1503 / 5)

Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah (1503/5)pi satuan volume.