Jari-jari suatu bola bertambah panjang dengan laju 2 cm per

a. $480\pi$ cm$^2$/detik, b. $7200\pi$ cm$^3$/detik

Pembahasan

Diketahui jari-jari bola (r) bertambah dengan laju $\frac{dr}{dt} = 2$ cm/detik. Kita ingin menghitung laju perubahan luas permukaan (A) dan volume (V) bola ketika $r = 30$ cm.

Rumus luas permukaan bola adalah $A = 4\pi r^2$.
Untuk mencari laju bertambahnya luas permukaan, kita turunkan A terhadap waktu (t) menggunakan aturan rantai:

$\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt}$
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(4\pi r^2) = 8\pi r$

Maka, $\frac{dA}{dt} = (8\pi r) \times \frac{dr}{dt}$
Substitusikan nilai $r = 30$ cm dan $\frac{dr}{dt} = 2$ cm/detik:

$\frac{dA}{dt} = (8\pi \times 30) \times 2 = 240\pi \times 2 = 480\pi$ cm$^2$/detik.

Rumus volume bola adalah $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
Untuk mencari laju bertambahnya volume, kita turunkan V terhadap waktu (t) menggunakan aturan rantai:

$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \times \frac{dr}{dt}$
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}(\frac{4}{3}\pi r^3) = 4\pi r^2$

Maka, $\frac{dV}{dt} = (4\pi r^2) \times \frac{dr}{dt}$
Substitusikan nilai $r = 30$ cm dan $\frac{dr}{dt} = 2$ cm/detik:

$\frac{dV}{dt} = (4\pi \times 30^2) \times 2 = (4\pi \times 900) \times 2 = 3600\pi \times 2 = 7200\pi$ cm$^3$/detik.

Jadi:
a. Laju bertambahnya luas permukaan bola adalah $480\pi$ cm$^2$/detik.
b. Laju bertambahnya volume bola adalah $7200\pi$ cm$^3$/detik.