int 7 x(3 x-x)^(5) d x=... A. (1)/(6)

Hasil integralnya adalah $-(7/6)x(3-x)^6 - (1/6)(3-x)^7 + C$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int 7x(3x-x)^5 dx$, pertama kita sederhanakan ekspresi di dalam kurung:
$3x - x = 2x$.

Maka integralnya menjadi:
$$ \int 7x(2x)^5 dx $$ $$ \int 7x(32x^5) dx $$ $$ \int 224x^6 dx $$ 
Sekarang kita integralkan terhadap $x$:
$$ 224 \int x^6 dx $$ $$ 224 \left( \frac{x^{6+1}}{6+1} \right) + C $$ $$ 224 \left( \frac{x^7}{7} 
ight) + C $$ $$ 32x^7 + C $$ 

Namun, mari kita periksa kembali soalnya. Sepertinya ada kesalahpahaman dalam interpretasi soal awal atau dalam penulisan soalnya, karena opsi jawaban yang diberikan melibatkan $(3-x)^n$. Jika soalnya adalah $\int 7x(3-x)^5 dx$, maka penyelesaiannya akan berbeda dan lebih kompleks, kemungkinan memerlukan metode substitusi atau integrasi parsial.

Jika soal yang dimaksud adalah $\int 7x(3-x)^5 dx$, mari kita coba metode substitusi. Misalkan $u = 3-x$. Maka $du = -dx$, atau $dx = -du$. Dari $u = 3-x$, kita juga dapatkan $x = 3-u$.

Substitusikan ke dalam integral:
$$ \int 7(3-u)u^5 (-du) $$ $$ -7 \int (3u^5 - u^6) du $$ 
Sekarang integralkan terhadap $u$:
$$ -7 \left( \frac{3u^{5+1}}{5+1} - \frac{u^{6+1}}{6+1} 
ight) + C $$ $$ -7 \left( \frac{3u^6}{6} - \frac{u^7}{7} 
ight) + C $$ $$ -7 \left( \frac{1}{2}u^6 - \frac{1}{7}u^7 
ight) + C $$ $$ -\frac{7}{2}u^6 + u^7 + C $$ 
Substitusikan kembali $u = 3-x$:
$$ -\frac{7}{2}(3-x)^6 + (3-x)^7 + C $$ 

Jika kita bandingkan dengan opsi yang diberikan, ini masih belum sesuai persis. Mari kita cek kembali soal dan opsi yang diberikan. Ada kemungkinan soal tersebut adalah $\int x(3-x)^5 dx$ atau ada kesalahan pengetikan pada soal atau opsi.

Asumsikan soalnya adalah $\int x(3-x)^5 dx$ dan kita gunakan substitusi $u = 3-x$, $x = 3-u$, $dx = -du$:
$$ \int (3-u)u^5 (-du) $$ $$ -\int (3u^5 - u^6) du $$ $$ -\left( \frac{3u^6}{6} - \frac{u^7}{7} 
ight) + C $$ $$ -\left( \frac{1}{2}u^6 - \frac{1}{7}u^7 
ight) + C $$ $$ -\frac{1}{2}u^6 + \frac{1}{7}u^7 + C $$ 
Substitusi balik $u = 3-x$:
$$ -\frac{1}{2}(3-x)^6 + \frac{1}{7}(3-x)^7 + C $$ 
Ini juga tidak cocok.

Mari kita coba pendekatan lain, misal jika ada kesalahan pada koefisien 7x. Jika soalnya adalah $\int (3-x)^5 dx$, maka?
$$ -\int u^5 du = -\frac{u^6}{6} + C = -\frac{(3-x)^6}{6} + C $$ 
Ini juga tidak cocok.

Mari kita periksa opsi C: $-(7)/(6) x(3-x)^(6)+(1)/(6)(3-x)^(7)+c$. Jika kita turunkan opsi C, apakah kita mendapatkan integrand awal?

Misalkan $f(x) = -(7/6)x(3-x)^6 + (1/6)(3-x)^7$
$f'(x) = -(7/6)[1 \cdot (3-x)^6 + x \cdot 6(3-x)^5 \cdot (-1)] + (1/6)[7(3-x)^6 \cdot (-1)]$
$f'(x) = -(7/6)[(3-x)^6 - 6x(3-x)^5] - (7/6)(3-x)^6$
$f'(x) = -(7/6)(3-x)^6 + (42/6)x(3-x)^5 - (7/6)(3-x)^6$
$f'(x) = -(14/6)(3-x)^6 + 7x(3-x)^5$
$f'(x) = -(7/3)(3-x)^6 + 7x(3-x)^5$

Ini juga tidak cocok dengan $\int 7x(3-x)^5 dx$. Ada kemungkinan besar soal atau opsi jawaban memiliki kesalahan pengetikan.

Namun, jika kita menganggap soalnya adalah $\int x(3-x)^5 dx$ dan opsi C sedikit dimodifikasi, atau jika kita mencoba teknik integrasi parsial pada $\int x(3-x)^5 dx$, mari kita coba.

Pilih $u = x$ dan $dv = (3-x)^5 dx$.
Maka $du = dx$ dan $v = \int (3-x)^5 dx = -\frac{(3-x)^6}{6}$.

Integral parsial: $\int u dv = uv - \int v du$
$$ \int x(3-x)^5 dx = x \left( -\frac{(3-x)^6}{6} \right) - \int \left( -\frac{(3-x)^6}{6} 
ight) dx $$ $$ = -\frac{x(3-x)^6}{6} + \frac{1}{6} \int (3-x)^6 dx $$ $$ = -\frac{x(3-x)^6}{6} + \frac{1}{6} \left( -\frac{(3-x)^7}{7} 
ight) + C $$ $$ = -\frac{x(3-x)^6}{6} - \frac{(3-x)^7}{42} + C $$ 
Ini mirip dengan opsi B, tetapi dengan tanda yang berbeda di depan x. Ada juga opsi A yang memiliki bentuk serupa.

Mari kita coba kembali soal asli $\int 7x(3-x)^5 dx$ dengan opsi C: $-(7)/(6) x(3-x)^(6)+(1)/(6)(3-x)^(7)+c$. Jika kita kalikan opsi C dengan 7, kita mendapatkan:
$7 \times [-(7/6)x(3-x)^6 + (1/6)(3-x)^7] = -(49/6)x(3-x)^6 + (7/6)(3-x)^7$. Ini juga tidak cocok.

Jika kita berasumsi bahwa soalnya adalah $\int x(3-x)^5 dx$ dan ada kesalahan pengetikan pada koefisien 7 di depan x, mari kita lihat opsi mana yang paling mendekati atau benar jika kita turunkan.

Turunkan opsi C: $-(7)/(6) x(3-x)^(6)+(1)/(6)(3-x)^(7)+c$. Hasil turunannya adalah $7x(3-x)^5 - (7/3)(3-x)^6$. Ini tidak cocok.

Mari kita coba turunkan opsi E: $-(7)/(6) x(3-x)^(6)-(1)/(6)(3-x)^(7)+c$. 
$f(x) = -(7/6)x(3-x)^6 - (1/6)(3-x)^7$
$f'(x) = -(7/6)[1 \cdot (3-x)^6 + x \cdot 6(3-x)^5 \cdot (-1)] - (1/6)[7(3-x)^6 \cdot (-1)]$
$f'(x) = -(7/6)[(3-x)^6 - 6x(3-x)^5] + (7/6)(3-x)^6$
$f'(x) = -(7/6)(3-x)^6 + 7x(3-x)^5 + (7/6)(3-x)^6$
$f'(x) = 7x(3-x)^5$. 

Jadi, opsi E adalah jawaban yang benar jika integralnya adalah $\int 7x(3-x)^5 dx$.