Tentukan batas-batas nilai a agar fungsi

2 < a < 8

Pembahasan

Agar fungsi f(x) = x³ - (a+1)x² + (4a-5)x - 10 selalu naik untuk setiap x bilangan nyata, maka turunan pertama dari fungsi tersebut harus selalu positif, yaitu f'(x) > 0.

Langkah 1: Cari turunan pertama f(x).
f'(x) = d/dx [x³ - (a+1)x² + (4a-5)x - 10]
f'(x) = 3x² - 2(a+1)x + (4a-5)

Langkah 2: Agar f(x) selalu naik, maka f'(x) > 0 untuk setiap x.
3x² - 2(a+1)x + (4a-5) > 0

Ini adalah pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk Ax² + Bx + C > 0, di mana A=3, B=-2(a+1), dan C=(4a-5).
Agar pertidaksamaan kuadrat selalu positif (menghadap ke atas dan tidak memotong sumbu x), diskriminan (D) harus negatif (D < 0).

Rumus diskriminan adalah D = B² - 4AC.

Hitung diskriminan:
D = [-2(a+1)]² - 4 * 3 * (4a-5)
D = 4(a+1)² - 12(4a-5)
D = 4(a² + 2a + 1) - 48a + 60
D = 4a² + 8a + 4 - 48a + 60
D = 4a² - 40a + 64

Langkah 3: Terapkan kondisi D < 0.
4a² - 40a + 64 < 0
Bagi seluruh persamaan dengan 4:
a² - 10a + 16 < 0

Langkah 4: Cari akar-akar dari persamaan kuadrat a² - 10a + 16 = 0.
(a - 2)(a - 8) = 0
Akar-akarnya adalah a = 2 dan a = 8.

Langkah 5: Tentukan interval nilai 'a' agar pertidaksamaan a² - 10a + 16 < 0 terpenuhi.
Karena koefisien a² positif, parabola terbuka ke atas. Pertidaksamaan < 0 terpenuhi di antara akar-akarnya.
Jadi, 2 < a < 8.

Kesimpulan: Agar fungsi f(x) selalu naik untuk setiap x bilangan nyata, batas-batas nilai a adalah 2 < a < 8.