integral (4x+1)/(akar(2x+1)) dx=....

Hasil integralnya adalah (4x-1)/3 * √(2x+1) + C.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int \frac{4x+1}{\sqrt{2x+1}} dx$, kita dapat menggunakan metode substitusi.
Misalkan $u = 2x+1$. Maka, $du = 2 dx$, atau $dx = \frac{1}{2} du$.
Dari $u = 2x+1$, kita juga bisa mendapatkan $2x = u-1$, sehingga $x = \frac{u-1}{2}$.
Substitusikan ke dalam integral:
$\int \frac{4\left(\frac{u-1}{2}\right)+1}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du$
$= \int \frac{2(u-1)+1}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du$
$= \int \frac{2u-2+1}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du$
$= \int \frac{2u-1}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du$
$= \frac{1}{2} \int \frac{2u}{\sqrt{u}} - \frac{1}{\sqrt{u}} du$
$= \frac{1}{2} \int (2u^{1/2} - u^{-1/2}) du$
Sekarang, integralkan terhadap u:
$= \frac{1}{2} \left( 2 \cdot \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} - \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} \right) + C$
$= \frac{1}{2} \left( 2 \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^{1/2}}{1/2} \right) + C$
$= \frac{1}{2} \left( 2 \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} - 2 u^{1/2} \right) + C$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{4}{3} u^{3/2} - 2 u^{1/2} \right) + C$
$= \frac{2}{3} u^{3/2} - u^{1/2} + C$
Substitusikan kembali $u = 2x+1$:
$= \frac{2}{3} (2x+1)^{3/2} - (2x+1)^{1/2} + C$
Kita bisa memfaktorkan $(2x+1)^{1/2}$:
$= (2x+1)^{1/2} \left( \frac{2}{3} (2x+1) - 1 \right) + C$
$= \sqrt{2x+1} \left( \frac{4x+2}{3} - \frac{3}{3} \right) + C$
$= \sqrt{2x+1} \left( \frac{4x-1}{3} \right) + C$
$= \frac{4x-1}{3} \sqrt{2x+1} + C$

Jadi, hasil integralnya adalah $\frac{4x-1}{3} \sqrt{2x+1} + C$.