Jika 1/2 merupakan akar-akar persamaan 2x^3+x^2-13x+a=0,

a = 6, akar lainnya adalah -3 dan 2

Pembahasan

Diketahui persamaan polinomial 2x^3 + x^2 - 13x + a = 0, dan salah satu akarnya adalah 1/2.

Karena 1/2 adalah akar, maka jika kita substitusikan x = 1/2 ke dalam persamaan, hasilnya harus sama dengan 0.

2(1/2)^3 + (1/2)^2 - 13(1/2) + a = 0
2(1/8) + 1/4 - 13/2 + a = 0
1/4 + 1/4 - 26/4 + a = 0
2/4 - 26/4 + a = 0
-24/4 + a = 0
-6 + a = 0
a = 6

Jadi, nilai a adalah 6. Persamaan lengkapnya menjadi 2x^3 + x^2 - 13x + 6 = 0.

Untuk mencari akar-akar yang lain, kita bisa menggunakan pembagian polinomial atau metode Horner karena kita tahu salah satu akarnya adalah 1/2.

Menggunakan metode Horner dengan akar 1/2:

Koefisien polinomial: 2, 1, -13, 6

  1/2 | 2   1   -13   6
      |     1    1   -6
      -----------------
        2   2   -12   0

Hasil pembagiannya adalah polinomial baru dengan derajat satu lebih rendah: 2x^2 + 2x - 12 = 0.

Kita bisa menyederhanakan persamaan kuadrat ini dengan membagi semua suku dengan 2:
x^2 + x - 6 = 0

Sekarang, kita faktorkan persamaan kuadrat ini:
(x + 3)(x - 2) = 0

Dari sini, kita dapatkan dua akar lainnya:
x + 3 = 0  => x = -3
x - 2 = 0  => x = 2

Jadi, nilai a adalah 6, dan akar-akar yang lain dari persamaan tersebut adalah -3 dan 2.