Jika 2.5^(1-2x)+2^3.5^-x-2=0, hasil penjumlahan dari semua

1

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah 2.5^(1-2x) + 2^3.5^-x - 2 = 0. Kita bisa menyederhanakan persamaan ini menjadi 2 * (5/5^(2x)) + 8 * (1/5^x) - 2 = 0. Misalkan y = 5^-x, maka persamaan menjadi 2/25 * y^2 + 8y - 2 = 0. Kalikan dengan 25 untuk menghilangkan pecahan: 2y^2 + 200y - 50 = 0. Bagi dengan 2: y^2 + 100y - 25 = 0. Menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai y: y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a. Di sini a=1, b=100, c=-25. y = [-100 ± sqrt(100^2 - 4*1*(-25))] / 2*1 = [-100 ± sqrt(10000 + 100)] / 2 = [-100 ± sqrt(10100)] / 2. Karena y = 5^-x, y harus positif. Maka kita ambil akar yang positif: y = (-100 + sqrt(10100)) / 2. Karena y = 5^-x, maka -x = log5(y). x = -log5(y). Ada dua nilai y yang memenuhi y^2 + 100y - 25 = 0, yaitu y1 dan y2. Dari sifat Vieta, y1 * y2 = c/a = -25. Karena y = 5^-x harus positif, maka hanya satu nilai y yang bisa kita gunakan. Namun, jika kita kembali ke persamaan awal, kita bisa melihat bentuknya: 2 * (1/5) * (5^-x)^2 + 8 * 5^-x - 2 = 0. Misalkan z = 5^-x. Maka (2/5)z^2 + 8z - 2 = 0. 2z^2 + 40z - 10 = 0. z^2 + 20z - 5 = 0. Menggunakan rumus kuadrat untuk z: z = [-20 ± sqrt(20^2 - 4*1*(-5))] / 2 = [-20 ± sqrt(400 + 20)] / 2 = [-20 ± sqrt(420)] / 2 = -10 ± sqrt(105). Karena z = 5^-x harus positif, maka z = -10 + sqrt(105). Sehingga -x = log5(-10 + sqrt(105)). x = -log5(-10 + sqrt(105)). Sepertinya ada kesalahan dalam interpretasi soal atau perhitungan. Mari kita coba manipulasi ulang persamaan: 2 * 5 * 5^(-2x) + 8 * 5^(-x) - 2 = 0. 10 * (5^-x)^2 + 8 * 5^-x - 2 = 0. Misalkan u = 5^-x. Maka 10u^2 + 8u - 2 = 0. 5u^2 + 4u - 1 = 0. Menggunakan rumus ABC: u = [-4 ± sqrt(4^2 - 4*5*(-1))] / (2*5) = [-4 ± sqrt(16 + 20)] / 10 = [-4 ± sqrt(36)] / 10 = [-4 ± 6] / 10. Jadi, u1 = (-4 + 6) / 10 = 2/10 = 1/5. Dan u2 = (-4 - 6) / 10 = -10/10 = -1. Karena u = 5^-x harus positif, maka kita ambil u = 1/5. 5^-x = 1/5 = 5^-1. Maka -x = -1, sehingga x = 1. Jika ada dua solusi x1 dan x2, maka hasil penjumlahannya adalah x1 + x2. Dalam kasus ini hanya ada satu solusi x=1. Jika ada kemungkinan lain, mari kita cek kembali. Persamaan 5u^2 + 4u - 1 = 0 memiliki dua akar, u1 dan u2. u1 = 1/5 dan u2 = -1. Karena u = 5^-x harus positif, maka hanya u1 = 1/5 yang valid. Jadi hanya ada satu nilai x, yaitu x=1. Jika ada kesalahan dalam soal atau interpretasi, dan seharusnya ada dua nilai x, maka kita perlu informasi lebih lanjut. Dengan asumsi soal ini valid dan hanya ada satu nilai x, maka penjumlahannya adalah nilai itu sendiri. Jika ada yang terlewat, mohon dikoreksi. Jika diasumsikan ada dua solusi untuk 5^-x, misalnya 5^-x1 = u1 dan 5^-x2 = u2, maka perkalian u1*u2 = (1/5)*(-1) = -1/5. Namun, dari persamaan kuadrat 5u^2 + 4u - 1 = 0, hasil kali akar u1*u2 = c/a = -1/5. Ini konsisten. Tapi hanya satu akar yang valid (positif). Jadi hanya ada satu nilai x yang memenuhi.