Jika (2 akar(2))log9=k, maka 27log4= ... (Model Soal UN)

8/(9k)

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan sifat logaritma, khususnya perubahan basis dan sifat logaritma perkalian serta pemangkatan.

Diketahui: (2 *akar(2))log9 = k
Ini bisa ditulis sebagai:
(2^(3/2))log(3^2) = k
Menggunakan sifat logaritma log(a^b) = b*log(a) dan log(b^c) = c*log(b), serta log(x^y) = y log(x):
(3/2) * 2 * log(2)log(9) = k
Ini tidak benar.

Mari kita gunakan sifat logaritma: log_b(a^m) = m * log_b(a) dan log_{b^n}(a) = (1/n) * log_b(a).

Basis logaritma adalah 2 * akar(2) = 2 * 2^(1/2) = 2^(1 + 1/2) = 2^(3/2).
Jadi, kita punya log_{2^(3/2)}(9) = k.
Kita bisa ubah basisnya ke basis 2:
(1 / (3/2)) * log_2(9) = k
(2/3) * log_2(3^2) = k
(2/3) * 2 * log_2(3) = k
(4/3) * log_2(3) = k

Sekarang kita perlu mencari nilai dari 27log4. Kita ingin mengubah basisnya ke basis 2 agar bisa menggunakan nilai k.
27log4 = log_27(4)
Ubah basisnya ke basis 2:
log_2(4) / log_2(27)

Kita tahu log_2(4) = log_2(2^2) = 2.
Kita tahu log_2(27) = log_2(3^3) = 3 * log_2(3).

Maka, 27log4 = 2 / (3 * log_2(3)).

Dari persamaan pertama, kita punya k = (4/3) * log_2(3).
Dari sini, kita bisa mencari nilai log_2(3):
log_2(3) = (3/4) * k.

Sekarang substitusikan nilai log_2(3) ke dalam ekspresi untuk 27log4:

27log4 = 2 / (3 * [(3/4) * k])
27log4 = 2 / ((9/4) * k)
27log4 = 2 * (4 / (9 * k))
27log4 = 8 / (9 * k)

Jadi, 27log4 = 8 / (9k).