Jika 2^(x+2)+4^(x+1)=48 , nilai dari 1/(x+1) adalah ....

Nilai dari 1/(x+1) adalah log₆(2).

Pembahasan

Kita diberikan persamaan: 2^(x+2) + 4^(x+1) = 48.

Kita bisa menyederhanakan persamaan ini dengan menggunakan sifat-sifat eksponen.
Ingat bahwa 4 = 2^2, sehingga 4^(x+1) = (2^2)^(x+1) = 2^(2(x+1)) = 2^(2x+2).
Juga, 2^(x+2) = 2^x * 2^2 = 4 * 2^x.
Dan 4^(x+1) = 4^x * 4^1 = 4 * 4^x = 4 * (2^2)^x = 4 * 2^(2x) = 4 * (2^x)^2.

Mari kita substitusikan kembali ke persamaan awal:
4 * 2^x + 4 * (2^x)^2 = 48

Bagi seluruh persamaan dengan 4:
2^x + (2^x)^2 = 12

Sekarang, misalkan y = 2^x. Maka persamaan menjadi:
y + y^2 = 12

Susun ulang menjadi persamaan kuadrat:
y^2 + y - 12 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
(y + 4)(y - 3) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk y:
y = -4 atau y = 3.

Karena y = 2^x, dan hasil dari pemangkatan 2 dengan bilangan real selalu positif, maka y tidak mungkin -4. Jadi, kita ambil y = 3.

2^x = 3

Kita perlu mencari nilai dari 1/(x+1). Untuk mencari x, kita ambil logaritma pada kedua sisi:
x = log₂(3)

Sekarang kita hitung 1/(x+1):
1/(x+1) = 1 / (log₂(3) + 1)

Kita tahu bahwa 1 = log₂(2).
Jadi, 1/(log₂(3) + 1) = 1 / (log₂(3) + log₂(2))

Menggunakan sifat logaritma log(a) + log(b) = log(ab):
1 / (log₂(3) + log₂(2)) = 1 / log₂(3 * 2) = 1 / log₂(6).

Menggunakan sifat logaritma 1 / log_b(a) = log_a(b):
1 / log₂(6) = log₆(2).

Jadi, nilai dari 1/(x+1) adalah log₆(2).