Jika 2log7=a dan 5log2=b, maka 16log700= ....

(ab + 2b + 2) / (4b)

Pembahasan

Diketahui:
2log7 = a
5log2 = b

Ditanya: 16log700

Kita perlu mengubah basis logaritma agar sesuai. Gunakan sifat perubahan basis logaritma: nlogm = p log m / p log n.
Misalkan kita ubah ke basis 10.

a = log 7 / log 2
b = log 2 / log 5

Dari b = log 2 / log 5, kita dapatkan log 5 = log 2 / b.

Sekarang kita ubah 16log700:
16log700 = log 700 / log 16

Uraikan argumen logaritma:
log 700 = log (7 * 100) = log 7 + log 100 = log 7 + 2
log 16 = log (2^4) = 4 log 2

Jadi, 16log700 = (log 7 + 2) / (4 log 2)

Ganti log 7 dengan a * log 2 (dari a = log 7 / log 2):
16log700 = (a log 2 + 2) / (4 log 2)

Sekarang kita perlu menghilangkan log 2. Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan log 2:
16log700 = (a log 2 / log 2) + (2 / log 2)
           ---------------------------
           (4 log 2 / log 2)

16log700 = (a + 2 / log 2) / 4

Dari b = log 2 / log 5, kita dapatkan 1 / log 2 = log 5 / log 2 = b.
Jadi, 1 / log 2 = b.

Namun, kita perlu mengganti 2 / log 2. Kita tahu log 2 = 1 / b * log 5. Ini juga rumit.
Mari kita coba ubah ke basis 2.

a = 2log7
b = 5log2 => 1/b = 2log5

16log700 = log_16(700)
16log700 = log_2(700) / log_2(16)
log_2(16) = 4

log_2(700) = log_2(7 * 100) = log_2(7) + log_2(100)
log_2(7) = a
log_2(100) = log_2(10^2) = 2 log_2(10)
log_2(10) = log_2(2*5) = log_2(2) + log_2(5) = 1 + log_2(5)

Kita tahu 1/b = 2log5, jadi log_2(5) = 1/b.

log_2(10) = 1 + 1/b = (b+1)/b

log_2(100) = 2 * log_2(10) = 2 * (b+1)/b = (2b+2)/b

log_2(700) = log_2(7) + log_2(100) = a + (2b+2)/b
log_2(700) = (ab + 2b + 2) / b

Sekarang, kembali ke 16log700:
16log700 = log_2(700) / log_2(16)
16log700 = [(ab + 2b + 2) / b] / 4
16log700 = (ab + 2b + 2) / (4b)
16log700 = (ab + 2(b+1)) / (4b)