Jika (2x)^(1+2log2x)>64x^3, maka batas-batas x yang

x < 2^(-√(5/2)) atau x > 2^(√(5/2))

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma (2x)^(1+2log2x)>64x^3, kita perlu memperhatikan beberapa hal:

1.  **Domain Logaritma**: Argumen logaritma harus positif, sehingga 2x > 0, yang berarti x > 0.
2.  **Bentuk Pertidaksamaan**: Pertidaksamaan ini melibatkan basis (2x) dan eksponen (1+2log2x), serta sisi kanan yang juga bergantung pada x.

Mari kita ubah bentuk pertidaksamaan:
(2x)^(1+2log2x) > 64x^3

Kita bisa menggunakan sifat logaritma: a^(log_a b) = b dan log_a (b*c) = log_a b + log_a c, serta (a^m)^n = a^(m*n).

Kita bisa menulis ulang 64x^3 sebagai (4x)^3 atau (2x)^3 * 8. Lebih mudah jika kita menyamakan basisnya.

Kita bisa menggunakan sifat logaritma untuk menurunkan eksponen:

Ambil logaritma basis 2x pada kedua sisi (perhatikan bahwa basis logaritma harus lebih besar dari 1 agar arah pertidaksamaan tidak berubah jika basisnya > 1, dan terbalik jika basisnya antara 0 dan 1. Kita akan analisis kasus basis):

log_{2x}((2x)^(1+2log2x)) > log_{2x}(64x^3)
1 + 2log2x > log_{2x}(64x^3)

Sekarang, kita perlu menyederhanakan log_{2x}(64x^3). Gunakan sifat logaritma:
log_{2x}(64x^3) = log_{2x}(2^6 * x^3)

Ini bisa menjadi rumit karena basis logaritma bergantung pada x. Alternatifnya, kita bisa mencoba mengambil logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10 pada kedua sisi:

ln((2x)^(1+2log2x)) > ln(64x^3)
(1 + 2log2x) * ln(2x) > ln(64x^3)

Ini juga masih rumit. Mari kita coba ubah basis logaritma pada eksponen:
log2x = log2(2x) / log2(2x) = 1.
Ini salah. log2x berarti log basis 2 dari x.
Jadi, 2log2x berarti 2 * log2(x).

Mari kita asumsikan log2x berarti logaritma basis 2 dari x.

(2x)^(1 + 2log_2 x) > 64x^3

Kita bisa tulis 64x^3 = 2^6 * x^3. Atau kita bisa coba menulis ulang basisnya.

2x = 2 * x

Coba ubah basis pada eksponen agar sama dengan basis utama:
log_2 x = log_{2x} x / log_{2x} 2
Ini juga rumit.

Kembali ke: 1 + 2log_2 x > log_{2x}(64x^3)

Misalkan y = log_2 x. Maka x = 2^y.
2x = 2 * 2^y = 2^(y+1).
Basis logaritma adalah 2x = 2^(y+1).

1 + 2y > log_{2^(y+1)}(64 * (2^y)^3)
1 + 2y > log_{2^(y+1)}(2^6 * 2^(3y))
1 + 2y > log_{2^(y+1)}(2^(6+3y))

Gunakan sifat log_a (a^b) = b dan log_{a^m} (a^n) = n/m:

1 + 2y > (6 + 3y) / (y+1)

Sekarang kita punya pertidaksamaan rasional. Kita perlu mempertimbangkan dua kasus untuk penyebut (y+1):

**Kasus 1: y+1 > 0 (y > -1)**
Kalikan kedua sisi dengan (y+1):
(1 + 2y)(y + 1) > 6 + 3y
y + 1 + 2y^2 + 2y > 6 + 3y
2y^2 + 3y + 1 > 6 + 3y
2y^2 > 5
y^2 > 5/2

Ini berarti y > sqrt(5/2) atau y < -sqrt(5/2).
Karena kita punya syarat y > -1, maka solusi dari kasus ini adalah:
y > sqrt(5/2) atau -1 < y < -sqrt(5/2) (Ini salah karena -sqrt(5/2) < -1).
Jadi, solusi dari kasus 1 adalah y > sqrt(5/2).

**Kasus 2: y+1 < 0 (y < -1)**
Kalikan kedua sisi dengan (y+1) dan balik arah pertidaksamaan:
(1 + 2y)(y + 1) < 6 + 3y
y + 1 + 2y^2 + 2y < 6 + 3y
2y^2 + 3y + 1 < 6 + 3y
2y^2 < 5
y^2 < 5/2

Ini berarti -sqrt(5/2) < y < sqrt(5/2).
Karena kita punya syarat y < -1, maka solusi dari kasus ini adalah:
-sqrt(5/2) < y < -1.

Sekarang, gabungkan solusi dari kedua kasus:
y > sqrt(5/2) atau -sqrt(5/2) < y < -1.

Ingat bahwa y = log_2 x. Jadi:
log_2 x > sqrt(5/2)  => x > 2^(sqrt(5/2))
atau
-sqrt(5/2) < log_2 x < -1 => 2^(-sqrt(5/2)) < x < 2^(-1).

Kita juga harus ingat syarat awal x > 0. Kedua rentang ini memenuhi x > 0.

Mari kita cek kembali basis logaritma 2x. Kita perlu 2x > 0 dan 2x != 1.
2x > 0 => x > 0.
2x != 1 => x != 1/2.

Dalam substitusi y = log_2 x, x = 2^y. Maka x != 1/2 berarti 2^y != 2^(-1), jadi y != -1. Ini sudah tercakup dalam analisis kasus.

sqrt(5/2) = sqrt(2.5) kira-kira 1.58.
-sqrt(5/2) kira-kira -1.58.

Jadi, solusinya adalah:
x > 2^1.58 atau 2^(-1.58) < x < 2^(-1).

Ini jika basis logaritma adalah 2. Soal tertulis log2x, yang umumnya berarti log basis 2 dari x.

Namun, jika log2x diartikan sebagai log basis (2x) dari x, maka:

(2x)^(1+2log_{2x}x) > 64x^3

Jika 2x > 1 (x > 1/2):
1 + 2log_{2x}x > log_{2x}(64x^3)
1 + 2log_{2x}x > log_{2x}(64) + log_{2x}(x^3)
1 + 2log_{2x}x > log_{2x}(2^6) + 3log_{2x}x
1 > log_{2x}(2^6) + log_{2x}x
1 > 6log_{2x}2 + log_{2x}x

Ini masih sangat rumit. Asumsi umum dalam soal matematika adalah 'log2x' berarti logaritma basis 2 dari x.

Mari kita periksa kembali solusi y > sqrt(5/2) atau -sqrt(5/2) < y < -1.

Kita perlu mengkonversi kembali ke x:
y = log_2 x

Kasus 1: y > sqrt(5/2)
log_2 x > sqrt(5/2)
x > 2^(sqrt(5/2))

Kasus 2: -sqrt(5/2) < y < -1
-sqrt(5/2) < log_2 x < -1
2^(-sqrt(5/2)) < x < 2^(-1)

Jadi, batas-batas x yang memenuhi adalah 2^(-sqrt(5/2)) < x < 1/2 atau x > 2^(sqrt(5/2)).

Mari kita coba analisis numerik sederhana. Misal x=8. log2(8) = 3. 2x = 16.
(16)^(1+2*3) = 16^7 = (2^4)^7 = 2^28.
64x^3 = 64 * 8^3 = 2^6 * (2^3)^3 = 2^6 * 2^9 = 2^15.
2^28 > 2^15. Jadi x=8 memenuhi.

Sekarang periksa batas:
sqrt(5/2) approx 1.58.
2^(1.58) approx 2.98.
2^(-1.58) approx 0.31.
1/2 = 0.5.

Jadi batasannya adalah sekitar 0.31 < x < 0.5 atau x > 2.98.

x=8 berada dalam rentang x > 2.98.

Periksa x = 1/4 = 0.25.
log2(1/4) = -2. 2x = 1/2.
Basis logaritma 2x = 1/2 adalah antara 0 dan 1, jadi pertidaksamaan dibalik saat mengambil log.
(1/2)^(1 + 2*(-2)) = (1/2)^(1-4) = (1/2)^(-3) = 2^3 = 8.
64x^3 = 64 * (1/4)^3 = 64 * (1/64) = 1.
8 > 1. Jadi x=1/4 memenuhi.

Namun, x=1/4 berada di luar solusi yang didapatkan.
Ada kesalahan dalam pemindahan basis logaritma atau penyelesaian pertidaksamaan rasional.

Kembali ke:
1 + 2y > (6 + 3y) / (y+1)

Ingat y = log_2 x, x > 0.
Basis 2x = 2^(y+1).

Jika basis 2x > 1 (y+1 > 0 => y > -1):
2y^2 > 5 => y > sqrt(5/2) atau y < -sqrt(5/2).
Gabungan dengan y > -1: y > sqrt(5/2).
Ini berarti log_2 x > sqrt(5/2) => x > 2^(sqrt(5/2)).

Jika basis 0 < 2x < 1 (y+1 < 0 => y < -1):
Arah pertidaksamaan dibalik saat mengalikan.
(1 + 2y)(y + 1) < 6 + 3y
2y^2 + 3y + 1 < 6 + 3y
2y^2 < 5
y^2 < 5/2
-sqrt(5/2) < y < sqrt(5/2).
Gabungan dengan y < -1: -sqrt(5/2) < y < -1.
Ini berarti -sqrt(5/2) < log_2 x < -1 => 2^(-sqrt(5/2)) < x < 2^(-1).

Jadi, rentang solusi adalah:
x > 2^(sqrt(5/2)) atau 2^(-sqrt(5/2)) < x < 1/2.

Mari kita cek kembali x = 1/4. y = log_2(1/4) = -2.
Nilai y = -2 berada dalam rentang -sqrt(5/2) < y < -1, karena -1.58 < -2 < -1 adalah SALAH. -2 < -1.58.
Jadi x=1/4 seharusnya TIDAK memenuhi.

Ada kesalahan fundamental di sini.

Mari kita coba pendekatan lain. Ubah semua ke basis logaritma yang sama, misalnya log basis 2.

(2x)^(1+2log_2 x) > 64x^3

Ambil log basis 2 pada kedua sisi.
Untuk basis 2x:
Kasus 1: 2x > 1 (x > 1/2). log basis 2x dari kedua sisi.
Kasus 2: 0 < 2x < 1 (0 < x < 1/2). log basis 2x dari kedua sisi, balik pertidaksamaan.

Kita harus berhati-hati dengan basis yang bergantung pada x.

Coba ubah soal menjadi:
log_2((2x)^(1+2log_2 x)) > log_2(64x^3)
(1+2log_2 x) * log_2(2x) > log_2(64) + log_2(x^3)
(1+2log_2 x) * (log_2 2 + log_2 x) > 6 + 3log_2 x
(1+2log_2 x) * (1 + log_2 x) > 6 + 3log_2 x

Misalkan z = log_2 x.
(1+2z)(1+z) > 6 + 3z
1 + z + 2z + 2z^2 > 6 + 3z
2z^2 + 3z + 1 > 6 + 3z
2z^2 > 5
z^2 > 5/2

Ini berarti z > sqrt(5/2) atau z < -sqrt(5/2).

Kembali ke z = log_2 x:

log_2 x > sqrt(5/2)  => x > 2^(sqrt(5/2))
atau
log_2 x < -sqrt(5/2) => x < 2^(-sqrt(5/2))

Kita juga harus ingat domain logaritma, x > 0.

Jadi, batas-batas x yang memenuhi adalah x < 2^(-sqrt(5/2)) atau x > 2^(sqrt(5/2)).

Mari kita cek kembali x=1/4. log_2(1/4) = -2. z = -2.
z^2 = 4. 5/2 = 2.5. z^2 > 5/2 (4 > 2.5) memang benar.
Jadi x=1/4 memenuhi.

Mari kita cek x=8. log_2(8) = 3. z = 3.
z^2 = 9. z^2 > 5/2 (9 > 2.5) memang benar.
Jadi x=8 memenuhi.

Sekarang kita perlu memeriksa basis 2x. Kita perlu 2x > 0 dan 2x != 1.
2x > 0 => x > 0.
2x != 1 => x != 1/2.

Solusi yang didapat adalah x < 2^(-sqrt(5/2)) atau x > 2^(sqrt(5/2)).

2^(-sqrt(5/2)) kira-kira 0.31.
2^(sqrt(5/2)) kira-kira 2.98.

Nilai x = 1/2 (atau 0.5) tidak masuk dalam kedua rentang ini.

Jadi, batas-batas x yang memenuhi adalah x < 2^(-sqrt(5/2)) atau x > 2^(sqrt(5/2)).

Jika soal meminta format eksak, maka jawabannya adalah:
x < 2^(-√(5/2)) atau x > 2^(√(5/2)).

Nilai numerik perkiraan:
x < 0.313 atau x > 2.987.

Ini adalah bentuk jawaban yang paling mungkin jika log2x berarti log basis 2 dari x. Jika ada konteks lain atau interpretasi lain dari 'log2x', jawabannya bisa berbeda.

Asumsi: log2x adalah logaritma basis 2 dari x. Pertidaksamaan adalah (2x)^(1+2log_2 x) > 64x^3.

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Tentukan domain: x > 0.
2. Ubah kedua sisi ke logaritma basis 2:
   log_2((2x)^(1+2log_2 x)) > log_2(64x^3)
3. Gunakan sifat logaritma log_a(b^c) = c*log_a(b) dan log_a(bc) = log_a(b) + log_a(c):
   (1+2log_2 x) * log_2(2x) > log_2(64) + log_2(x^3)
   (1+2log_2 x) * (log_2 2 + log_2 x) > 6 + 3log_2 x
   (1+2log_2 x) * (1 + log_2 x) > 6 + 3log_2 x
4. Substitusikan z = log_2 x:
   (1+2z)(1+z) > 6 + 3z
5. Sederhanakan pertidaksamaan kuadrat:
   1 + z + 2z + 2z^2 > 6 + 3z
   2z^2 + 3z + 1 > 6 + 3z
   2z^2 > 5
   z^2 > 5/2
6. Cari nilai z:
   z > √(5/2) atau z < -√(5/2)
7. Substitusikan kembali z = log_2 x:
   log_2 x > √(5/2)  atau  log_2 x < -√(5/2)
8. Cari nilai x:
   x > 2^(√(5/2))  atau  x < 2^(-√(5/2))
9. Gabungkan dengan domain x > 0. Karena 2^(-√(5/2)) sudah positif, maka solusi akhirnya adalah:
   x < 2^(-√(5/2)) atau x > 2^(√(5/2)).