Tentukan turunan kedua dari fungsi berikut. y=(2-3x)/x^3

y'' = (-18x + 24)/x^5

Pembahasan

Untuk menentukan turunan kedua dari fungsi y = (2-3x)/x^3, kita perlu menggunakan aturan kuosien dan aturan rantai.

Misalkan u = 2 - 3x dan v = x^3.
Maka, u' = -3 dan v' = 3x^2.

Menggunakan aturan kuosien: y' = (u'v - uv') / v^2
y' = (-3 * x^3 - (2 - 3x) * 3x^2) / (x^3)^2
y' = (-3x^3 - 6x^2 + 9x^3) / x^6
y' = (6x^3 - 6x^2) / x^6
y' = (6x^2(x - 1)) / x^6
y' = 6(x - 1) / x^4

Sekarang, kita perlu mencari turunan kedua (y''). Kita akan menggunakan aturan kuosien lagi untuk y' = (6x - 6) / x^4.
Misalkan p = 6x - 6 dan q = x^4.
Maka, p' = 6 dan q' = 4x^3.

Menggunakan aturan kuosien: y'' = (p'q - pq') / q^2
y'' = (6 * x^4 - (6x - 6) * 4x^3) / (x^4)^2
y'' = (6x^4 - (24x^4 - 24x^3)) / x^8
y'' = (6x^4 - 24x^4 + 24x^3) / x^8
y'' = (-18x^4 + 24x^3) / x^8

Kita bisa menyederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan x^3:
y'' = x^3(-18x + 24) / x^8
y'' = (-18x + 24) / x^5

Hasil turunan kedua dari fungsi y = (2-3x)/x^3 adalah (-18x + 24)/x^5.