Jika 5 log 3=a dan 3 log 4=b, maka nilai dari 12 log 75

Nilai dari 12 log 75 adalah (a+2) / (a(1+b)).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma.
Diketahui:
1. \(^{5}\log 3 = a\)
2. \(^{3}\log 4 = b\)

Kita ingin mencari nilai dari \(^{12}\log 75\).

Pertama, kita ubah basis logaritma agar konsisten. Kita bisa menggunakan logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10 (log).
Mari kita gunakan logaritma basis 3, karena angka 3 muncul di kedua informasi yang diberikan.

Dari informasi (1): \(a = \frac{\log 3}{\log 5}\), sehingga \(\log 5 = \frac{\log 3}{a}\).
Dari informasi (2): \(b = \frac{\log 4}{\log 3}\), sehingga \(\log 4 = b \log 3\).
Kita tahu \(\log 4 = \log (2^2) = 2 \log 2\), jadi \(2 \log 2 = b \log 3\), yang berarti \(\log 2 = \frac{b}{2} \log 3\).

Sekarang kita analisis ekspresi \(^{12}\log 75\):
\(^{12}\log 75 = \frac{\log 75}{\log 12}\)

Kita faktorkan angka 75 dan 12:
\(75 = 3 \times 25 = 3 	imes 5^2\)
\(12 = 3 	imes 4 = 3 	imes 2^2\)

Jadi,
\(\log 75 = \log (3 \times 5^2) = \log 3 + \log (5^2) = \log 3 + 2 \log 5\)
Substitusikan \(\log 5 = \frac{\log 3}{a}\):
\(\log 75 = \log 3 + 2 \left(\frac{\log 3}{a}\right) = \log 3 \left(1 + \frac{2}{a}\right) = \log 3 \left(\frac{a+2}{a}\right)\)

Selanjutnya,
\(\log 12 = \log (3 	imes 2^2) = \log 3 + \log (2^2) = \log 3 + 2 \log 2\)
Substitusikan \(\log 2 = \frac{b}{2} \log 3\):
\(\log 12 = \log 3 + 2 \left(\frac{b}{2} \log 3\right) = \log 3 + b \log 3 = \log 3 (1+b)\)

Sekarang kita substitusikan \(\log 75\) dan \(\log 12\) ke dalam ekspresi \(^{12}\log 75\):
\(^{12}\log 75 = \frac{\log 3 \left(\frac{a+2}{a}\right)}{\log 3 (1+b)}\)

Kita bisa mencoret \(\log 3\) dari pembilang dan penyebut:
\(^{12}\log 75 = \frac{\frac{a+2}{a}}{1+b}\)
\(^{12}\log 75 = \frac{a+2}{a(1+b)}\)