Jika a^(-2n) = 64 dan n bilanan asli, nilai a yang tidak

Nilai $a$ yang tidak mungkin adalah 2.

Pembahasan

Diketahui $a^{-2n} = 64$ dan n adalah bilangan asli.
 Kita bisa menulis ulang 64 sebagai $4^3$ atau $8^2$ atau $2^6$.

Kasus 1: $a^{-2n} = 64$. Jika kita asumsikan basisnya sama, misalnya $a^x = 64$, maka nilai $a$ bisa bervariasi tergantung pada nilai $x$. 
 Namun, soal menanyakan nilai $a$ yang TIDAK mungkin.

Kita tahu bahwa $a^{-2n} = (a^n)^{-2} = \frac{1}{(a^n)^2}$.
Jadi, $\frac{1}{(a^n)^2} = 64$.
$(a^n)^2 = \frac{1}{64}$.
$a^n = \sqrt{\frac{1}{64}}$ atau $a^n = -\sqrt{\frac{1}{64}}$.
$a^n = \frac{1}{8}$ atau $a^n = -\frac{1}{8}$.

Karena n adalah bilangan asli (n=1, 2, 3, ...), maka $a^n$ berarti $a, a^2, a^3, ...$. 

Jika $a$ adalah bilangan real positif, maka $a^n$ juga positif, sehingga $a^n = 1/8$ adalah mungkin.
Contoh: jika n=1, $a = 1/8$. Maka $a^{-2n} = (1/8)^{-2} = 8^2 = 64$. Ini benar.

Jika $a$ adalah bilangan real negatif:
- Jika n genap, $a^n$ positif. Maka $a^n = 1/8$ mungkin.
- Jika n ganjil, $a^n$ negatif. Maka $a^n = -1/8$ mungkin.

Mari kita analisis $a^n = 1/8$ dan $a^n = -1/8$. 

1. $a^n = 1/8$: Ini selalu mungkin jika $a$ positif. Jika $a$ negatif dan $n$ genap, ini juga mungkin.

2. $a^n = -1/8$: Ini hanya mungkin jika $a$ negatif dan $n$ ganjil.
   Jika $a$ negatif dan $n$ ganjil, maka $a^{-2n} = (a^n)^{-2} = (-1/8)^{-2} = (-8)^2 = 64$. Ini benar.

Sekarang kita perlu mencari nilai $a$ yang tidak mungkin.

Pertimbangkan bentuk $a^{-2n} = 64$. 
Ini bisa ditulis sebagai $\frac{1}{a^{2n}} = 64$.
$a^{2n} = \frac{1}{64}$.
$(a^n)^2 = \frac{1}{64}$.
$a^n = \frac{1}{8}$ atau $a^n = -\frac{1}{8}$.

Jika $a$ adalah bilangan real, $a^n$ bisa positif atau negatif tergantung $a$ dan $n$.

Namun, jika kita melihat $a^{-2n} = 64$, karena eksponen $-2n$ adalah bilangan genap (karena dikalikan 2), maka $a^{-2n}$ akan selalu positif, berapapun nilai $a$ (selama $a \neq 0$).

Jadi, nilai $a$ yang tidak mungkin adalah nilai yang membuat $a^{-2n}$ menjadi negatif, yang sebenarnya tidak mungkin terjadi pada bentuk $a^{-2n}$ jika $a$ adalah bilangan real. 

Soal ini mungkin menguji pemahaman tentang eksponen negatif dan sifat pangkat.

Misalkan $a = 2$. Maka $2^{-2n} = 64$. $(2^n)^{-2} = 64$. $(1/2^n)^2 = 64$. $1/2^{2n} = 64$. $2^{2n} = 1/64$. $2^{2n} = 2^{-6}$. $2n = -6$. $n=-3$. Tetapi $n$ harus bilangan asli. Jadi $a=2$ mungkin jika $n$ bisa negatif.

Misalkan $a=1/2$. Maka $(1/2)^{-2n} = 64$. $2^{2n} = 64$. $2^{2n} = 2^6$. $2n=6$. $n=3$. Ini valid karena $n$ bilangan asli. Jadi $a=1/2$ mungkin.

Misalkan $a=-2$. Maka $(-2)^{-2n} = 64$. $(1/(-2)^{2n}) = 64$. $(1/2^{2n}) = 64$. $2^{2n} = 1/64$. $2^{2n} = 2^{-6}$. $2n=-6$. $n=-3$. Tidak valid.

Misalkan $a=-1/2$. Maka $(-1/2)^{-2n} = 64$. $(1/(-1/2)^{2n}) = 64$. $(1/(1/2^{2n})) = 64$. $2^{2n} = 64$. $2^{2n} = 2^6$. $2n=6$. $n=3$. Valid. Jadi $a=-1/2$ mungkin.

Jika $a=0$, $a^{-2n}$ tidak terdefinisi.

Mari kita lihat lagi $a^n = 1/8$ atau $a^n = -1/8$.

Jika $a^n = 1/8$, maka $a$ bisa positif (misalnya $a = (1/8)^{1/n}$). Jika $a$ negatif, $n$ harus genap. 

Jika $a^n = -1/8$, maka $a$ harus negatif dan $n$ harus ganjil. 

Nilai $a$ yang tidak mungkin adalah nilai yang tidak bisa memenuhi $a^n = 1/8$ atau $a^n = -1/8$ untuk $n$ bilangan asli.

Jika $a=0$, maka $a^n = 0$ untuk $n>0$. Ini tidak sama dengan $1/8$ atau $-1/8$. Jadi $a=0$ adalah nilai yang tidak mungkin.

Jika $a=1$, maka $a^n = 1^n = 1$. Ini tidak sama dengan $1/8$ atau $-1/8$. Jadi $a=1$ adalah nilai yang tidak mungkin.

Jika $a=-1$, maka $a^n = (-1)^n$. Ini bisa 1 atau -1. Ini tidak sama dengan $1/8$ atau $-1/8$. Jadi $a=-1$ adalah nilai yang tidak mungkin.

Jika soal ini berasal dari pilihan ganda, akan lebih mudah untuk menentukan.
Dengan asumsi soal ini mencari nilai $a$ yang tidak bisa menghasilkan $a^{-2n} = 64$ untuk setiap $n$ bilangan asli.

$a^{2n} = 1/64$.
Jika $a$ positif, maka $a = (1/64)^{1/(2n)}$. Ini selalu mungkin.
Jika $a$ negatif, maka $a = -(1/64)^{1/(2n)}$ jika $n$ ganjil atau $a = (1/64)^{1/(2n)}$ jika $n$ genap.

Nilai $a$ yang tidak mungkin adalah yang membuat $a$ selalu menghasilkan eksponen yang tidak sesuai dengan $n$ bilangan asli.

Contoh nilai yang mungkin:
Jika $n=1$, $a^{-2} = 64 
ightarrow 1/a^2 = 64 
ightarrow a^2 = 1/64 
ightarrow a = 1/8$ atau $a = -1/8$.
Jika $n=2$, $a^{-4} = 64 
ightarrow 1/a^4 = 64 
ightarrow a^4 = 1/64 
ightarrow a = 
eut{1/2}$ atau $a = -
eut{1/2}$.
Jika $n=3$, $a^{-6} = 64 
ightarrow 1/a^6 = 64 
ightarrow a^6 = 1/64 
ightarrow a = 1/2$ atau $a = -1/2$.

Perhatikan bahwa basisnya bisa berbeda untuk $n$ yang berbeda.

Namun, jika kita melihat struktur $a^{-2n} = 64$, ini berarti $1/(a^n)^2 = 64$, sehingga $(a^n)^2 = 1/64$. Maka $a^n = 
eut{1/8}$ atau $a^n = -
eut{1/8}$.

Jika $a = 8$, maka $8^n = 
eut{1/8}$ atau $8^n = -
eut{1/8}$. Ini tidak mungkin untuk $n$ bilangan asli.
Jika $n=1$, $8^1 = 8 
eq 
eut{1/8}$. Jika $n=2$, $8^2 = 64 
eq 
eut{1/8}$.

Jika $a = -8$, maka $(-8)^n = 
eut{1/8}$ atau $(-8)^n = -
eut{1/8}$.
Jika $n=1$, $(-8)^1 = -8 
eq 
eut{1/8}, -
eut{1/8}$.
Jika $n=2$, $(-8)^2 = 64 
eq 
eut{1/8}, -
eut{1/8}$.
Jika $n=3$, $(-8)^3 = -512 
eq 
eut{1/8}, -
eut{1/8}$.

Jadi, $a=8$ atau $a=-8$ adalah kandidat nilai yang tidak mungkin.

Jika $a=4$, $4^n = 
eut{1/8}$ atau $4^n = -
eut{1/8}$.
$n=1: 4^1=4$
$n=2: 4^2=16$
Tidak mungkin.

Jika $a=1/4$, $(1/4)^n = 
eut{1/8}$ atau $(1/4)^n = -
eut{1/8}$.
$n=1: 1/4$
$n=2: 1/16$
Tidak mungkin.

Kesimpulan: Nilai $a$ yang tidak mungkin adalah nilai yang ketika dipangkatkan dengan $n$ (bilangan asli) tidak akan pernah menghasilkan $1/8$ atau $-1/8$.
Nilai $a$ seperti 8, -8, 4, -4, 2, -2, 1/4, -1/4, dan seterusnya, yang basisnya bukan merupakan bentuk $
eut{1/8}^{1/n}$ atau $(-
eut{1/8})^{1/n}$ untuk $n$ bilangan asli.

Jika kita lihat $a^{2n} = 1/64$, maka $|a|^n = (1/64)^{1/(2n)}$. Ini selalu mungkin.

Mari kita pertimbangkan kembali $a^n = 
eut{1/8}$ atau $a^n = -
eut{1/8}$.
Jika $a=2$, $2^n = 
eut{1/8}$ atau $2^n = -
eut{1/8}$. Tidak mungkin.
Jika $a=4$, $4^n = 
eut{1/8}$ atau $4^n = -
eut{1/8}$. Tidak mungkin.
Jika $a=8$, $8^n = 
eut{1/8}$ atau $8^n = -
eut{1/8}$. Tidak mungkin.

Nilai $a$ yang tidak mungkin adalah nilai $a$ yang bukan merupakan akar ke-$n$ dari $1/8$ atau $-1/8$ untuk $n$ bilangan asli.

Contoh:
Jika $a=2$. Maka $a^n = 2^n$. $2^n$ tidak akan pernah sama dengan $1/8$ atau $-1/8$ untuk $n$ bilangan asli.
$2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, dll.
$2^{-1} = 1/2$, $2^{-2} = 1/4$, $2^{-3} = 1/8$. Tapi $n$ harus positif.

Jadi, jika $a=2$, maka $a^{-2n} = 2^{-2n} = (2^n)^{-2}$. Agar ini sama dengan 64, maka $(2^n)^{-2} = 64$. $1/(2^n)^2 = 64$. $(2^n)^2 = 1/64$. $2^n = 
eut{1/8}$ atau $2^n = -
eut{1/8}$. Ini tidak mungkin untuk $n$ bilangan asli.

Maka, nilai $a=2$ adalah nilai yang tidak mungkin.