Jika A+(akar(3) -1 1 akar(3)), maka jumlah semua unsur dari

Jumlah semua unsur matriks \(A^{12}\) adalah 8192.

Pembahasan

Untuk mencari jumlah semua unsur dari matriks \(A^{12}\), pertama kita perlu menentukan matriks \(A\). Berdasarkan informasi yang diberikan, \(A + \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3}\). 

Mari kita klarifikasi notasi matriks dari \(A+(akar(3) -1 1 akar(3))\). Jika ini merujuk pada sebuah matriks, maka penulisannya harus lebih jelas, misalnya:
\(A + \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}\) atau bentuk matriks lainnya.

Asumsikan bahwa \(A\) adalah sebuah matriks dan \(\sqrt{3} - 1\) serta \(\sqrt{3}\) adalah elemen-elemennya. Tanpa bentuk matriks \(A\) yang spesifik, kita tidak dapat menghitung \(A^{12}\). 

Namun, jika soalnya adalah \(A = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}\), maka kita bisa melanjutkan.

Mari kita hitung \(A^2\):
\(A^2 = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\sqrt{3})(\sqrt{3}) + (-1)(1) & (\sqrt{3})(-1) + (-1)(\sqrt{3}) \\ (1)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})(1) & (1)(-1) + (\sqrt{3})(\sqrt{3}) \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 3 - 1 & -\sqrt{3} - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} + \sqrt{3} & -1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2\sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} & 2 \end{pmatrix}\)

Perhatikan bahwa \(A^2 = 2 \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}\). 
Matriks \(\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}\) dapat ditulis dalam bentuk perkalian dengan matriks rotasi. Namun, mari kita coba pendekatan lain. 

Jika kita mengalikan \(A\) dengan \(\sqrt{3} + 1\), atau melihat determinan dan trace dari \(A\).
Det(A) = \((\sqrt{3})(\sqrt{3}) - (-1)(1)\) = \(3 + 1 = 4\).
Trace(A) = \(\sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\).

Untuk matriks \(2\times2\), \(A^2 - \text{Trace}(A)A + \text{Det}(A)I = 0\) (Teorema Cayley-Hamilton).
\(A^2 - 2\sqrt{3}A + 4I = 0\).
\(A^2 = 2\sqrt{3}A - 4I\).

Menghitung \(A^{12}\) secara langsung akan sangat rumit. 

Mari kita coba representasi polar untuk matriks:
Matriks \(A = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\). 
Matriks \(\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\) adalah matriks rotasi sebesar \(\theta\). 
Di sini, \(\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) dan \(\sin \theta = \frac{1}{2}\), sehingga \(\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6}\) radian.

Maka, \(A = 2 \begin{pmatrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{pmatrix}\).

Menggunakan rumus De Moivre untuk matriks: jika \(M = r \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\), maka \(M^n = r^n \begin{pmatrix} \cos (n\theta) & -\sin (n\theta) \\ \sin (n\theta) & \cos (n\theta) \end{pmatrix}\).

Jadi, \(A^{12} = 2^{12} \begin{pmatrix} \cos (12 \times 30^\circ) & -\sin (12 \times 30^\circ) \\ \sin (12 \times 30^\circ) & \cos (12 \times 30^\circ) \end{pmatrix}\)
\(A^{12} = 2^{12} \begin{pmatrix} \cos 360^\circ & -\sin 360^\circ \\ \sin 360^\circ & \cos 360^\circ \end{pmatrix}\)
\(A^{12} = 2^{12} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2^{12} I\).

Nilai \(2^{12} = 4096\).
Jadi, \(A^{12} = \begin{pmatrix} 4096 & 0 \\ 0 & 4096 \end{pmatrix}\).

Jumlah semua unsur dari matriks \(A^{12}\) adalah \(4096 + 0 + 0 + 4096 = 8192\).