Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 10mathAljabar

Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat x^(2)+k

Pertanyaan

Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+kx+k=0$, maka nilai k yang menyebabkan jumlah kuadrat akar-akar mencapai minimum adalah ... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Solusi

Verified

Nilai k yang menyebabkan jumlah kuadrat akar-akar mencapai minimum adalah 1.

Pembahasan

Diketahui persamaan kuadrat \(x^2 + kx + k = 0\) dengan akar-akar \(\alpha\) dan \(\beta\). Menurut Vieta, kita punya: Jumlah akar: \(\alpha + \beta = -\frac{k}{1} = -k\) Perkalian akar: \(\alpha \beta = \frac{k}{1} = k\) Kita ingin mencari nilai \(k\) yang menyebabkan jumlah kuadrat akar-akar mencapai minimum. Jumlah kuadrat akar-akar adalah \(\alpha^2 + \beta^2\). Kita bisa menulis \(\alpha^2 + \beta^2\) dalam bentuk \((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta\). Substitusikan nilai jumlah dan perkalian akar: \(\alpha^2 + \beta^2 = (-k)^2 - 2(k) = k^2 - 2k\) Sekarang kita punya fungsi \(f(k) = k^2 - 2k\) yang ingin kita minimalkan. Ini adalah fungsi kuadrat dalam \(k\) yang berbentuk parabola terbuka ke atas. Nilai minimum terjadi pada puncaknya. Koordinat k dari puncak parabola \(ak^2 + bk + c\) adalah \(k = -\frac{b}{2a}\). Dalam kasus ini, \(a=1\) dan \(b=-2\). Jadi, nilai \(k\) agar \(\alpha^2 + \beta^2\) minimum adalah: \(k = -\frac{-2}{2(1)} = -\frac{-2}{2} = 1\) Untuk memastikan bahwa akar-akar tersebut real, diskriminan \(D = b^2 - 4ac\) harus non-negatif. Dalam persamaan \(x^2 + kx + k = 0\), \(a=1, b=k, c=k\). \(D = k^2 - 4(1)(k) = k^2 - 4k\) Agar akar real, \(k^2 - 4k \ge 0 \implies k(k-4) \ge 0\). Ini berarti \(k \le 0\) atau \(k \ge 4\). Namun, jika kita hanya diminta mencari minimum dari \(k^2 - 2k\) tanpa syarat akar real, maka nilai minimumnya adalah saat \(k=1\). Jika konteks soal mengasumsikan akar-akar harus real, maka nilai \(k=1\) tidak memenuhi syarat tersebut. Akan tetapi, soal hanya menanyakan nilai \(k\) yang menyebabkan jumlah kuadrat akar-akar mencapai minimum, yang merupakan masalah optimasi fungsi kuadrat \(k^2 - 2k\). Nilai minimum dari fungsi kuadrat ini memang terjadi di \(k=1\). Jika soal mengimplikasikan keberadaan akar, maka harus ada syarat tambahan. Dengan asumsi pertanyaan fokus pada minimisasi fungsi \(k^2-2k\), nilai minimum tercapai pada \(k=1\). Pilihan yang tersedia adalah A. 1, B. 2, C. 3, D. 4, E. 5. Nilai \(k=1\) adalah salah satu pilihan.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Persamaan Kuadrat
Section: Sifat Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Apakah jawaban ini membantu?
Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat x^(2)+k - Saluranedukasi