Jika p(x)=(x+3)q(x)+2 dan sisa pembagian q(x) oleh (2x-4)

Sisa pembagian p(x) oleh (x+3)(x-2) adalah 3x + 11.

Pembahasan

Diketahui bahwa p(x) = (x+3)q(x) + 2. Ini berarti ketika p(x) dibagi oleh (x+3), sisanya adalah 2. 

Selanjutnya, diketahui bahwa sisa pembagian q(x) oleh (2x-4) adalah 3. Kita bisa menulis ini sebagai q(x) = (2x-4)k(x) + 3 untuk suatu fungsi k(x). Karena (2x-4) = 2(x-2), maka q(2) = (2*2 - 4)k(2) + 3 = 0*k(2) + 3 = 3.

Kita ingin mencari sisa pembagian p(x) oleh (x+3)(x-2). Karena (x+3) dan (x-2) adalah faktor-faktor yang berbeda, kita dapat menggunakan Teorema Sisa Polinomial. Misalkan sisa pembagian p(x) oleh (x+3)(x-2) adalah Ax + B.

Maka, p(x) = (x+3)(x-2)h(x) + Ax + B, di mana h(x) adalah hasil bagi.

Sekarang kita gunakan informasi yang kita miliki:
1. Ketika x = -3:
p(-3) = (-3+3)(-3-2)h(-3) + A(-3) + B
p(-3) = 0 * (-5) * h(-3) - 3A + B
p(-3) = -3A + B
Dari p(x) = (x+3)q(x) + 2, kita tahu bahwa p(-3) = (-3+3)q(-3) + 2 = 0*q(-3) + 2 = 2.
Jadi, 2 = -3A + B (Persamaan 1).

2. Ketika x = 2:
p(2) = (2+3)(2-2)h(2) + A(2) + B
p(2) = (5)*(0)*h(2) + 2A + B
p(2) = 2A + B
Dari p(x) = (x+3)q(x) + 2, kita punya p(2) = (2+3)q(2) + 2 = 5q(2) + 2. 
Kita tahu bahwa q(2) = 3.
Jadi, p(2) = 5(3) + 2 = 15 + 2 = 17.
Sehingga, 17 = 2A + B (Persamaan 2).

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear untuk A dan B:
Persamaan 2: 2A + B = 17
Persamaan 1: -3A + B = 2

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(2A + B) - (-3A + B) = 17 - 2
2A + B + 3A - B = 15
5A = 15
A = 3

Substitusikan nilai A ke Persamaan 1:
-3(3) + B = 2
-9 + B = 2
B = 11

Maka, sisa pembagian p(x) oleh (x+3)(x-2) adalah Ax + B, yaitu 3x + 11.