Jika A=[k 2 3 -1] dan B=[1 2 2 4] memenuhi

Tidak ada nilai k yang memenuhi karena AB tidak sama dengan BA.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami sifat-sifat aljabar matriks. Diketahui matriks A=[k 2 3 -1] dan B=[1 2 2 4]. Kondisi yang diberikan adalah (A+B)^2 = A^2 + AB + B^2. Persamaan ini akan terpenuhi jika matriks A dan B memenuhi sifat komutatif, yaitu AB = BA.

Langkah 1: Hitung A+B
A+B = [k+1  2+2  3+2  -1+4] = [k+1  4  5  3]

Langkah 2: Hitung AB
AB = [k*1 + 2*2   k*2 + 2*4]
     [3*1 + (-1)*2  3*2 + (-1)*4]
   = [k+4  2k+8]
     [1    2]

Langkah 3: Hitung BA
BA = [1*k + 2*3   1*2 + 2*(-1)]
     [2*k + 4*3   2*2 + 4*(-1)]
   = [k+6  0]
     [2k+12 0]

Langkah 4: Agar (A+B)^2 = A^2 + AB + B^2 terpenuhi, maka harus berlaku AB = BA.
Dengan menyamakan elemen-elemen matriks AB dan BA:
Elemen baris 1, kolom 1: k+4 = k+6 => 4 = 6 (Ini tidak mungkin, yang menunjukkan ada kesalahan dalam pemahaman soal atau sifat yang digunakan).

Mari kita tinjau ulang kondisi (A+B)^2=A^2+AB+B^2. Persamaan ini terpenuhi jika AB=BA (komutatif).
Jika kita periksa kembali perkalian matriks:
AB = [
    k*1 + 2*2,
    k*2 + 2*4
]
     [
    3*1 + (-1)*2,
    3*2 + (-1)*4
]
  = [
    k+4,
    2k+8
]
     [
    1,
    2
]

BA = [
    1*k + 2*3,
    1*2 + 2*(-1)
]
     [
    2*k + 4*3,
    2*2 + 4*(-1)
]
  = [
    k+6,
    0
]
     [
    2k+12,
    0
]

Agar AB = BA, maka:
Kolom 1, Baris 1: k+4 = k+6 => 4 = 6 (kontradiksi).
Kolom 2, Baris 1: 2k+8 = 0 => 2k = -8 => k = -4.
Kolom 1, Baris 2: 1 = 2k+12 => 1 = 2(-4)+12 => 1 = -8+12 => 1 = 4 (kontradiksi).
Kolom 2, Baris 2: 2 = 0 (kontradiksi).

Karena terjadi kontradiksi pada beberapa elemen, ini menunjukkan bahwa kondisi (A+B)^2=A^2+AB+B^2 tidak dapat terpenuhi untuk matriks A dan B yang diberikan, kecuali ada interpretasi lain dari soal.

Namun, jika soal mengasumsikan bahwa kesamaan tersebut *harus* terpenuhi dan meminta nilai k yang menyebabkan itu, mungkin ada kesalahan ketik dalam soal atau asumsi bahwa hanya salah satu elemen yang perlu disamakan. Jika kita fokus pada elemen yang melibatkan k:
Dari AB: elemen (1,2) adalah 2k+8. Dari BA: elemen (1,2) adalah 0. Jika 2k+8 = 0, maka k = -4.
Dari AB: elemen (2,1) adalah 1. Dari BA: elemen (2,1) adalah 2k+12. Jika 1 = 2k+12, maka 2k = -11, k = -11/2.

Karena tidak ada nilai k tunggal yang membuat AB=BA untuk semua elemen, soal ini kemungkinan besar memiliki masalah. Namun, jika kita dipaksa memilih salah satu elemen untuk menentukan k, biasanya elemen yang paling menyederhanakan persamaan yang dipilih.

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan ketik dan seharusnya hanya perlu AB=BA, maka tidak ada solusi. Jika kita mengasumsikan bahwa kesamaan (A+B)^2 = A^2 + AB + B^2 berlaku, ini menyiratkan AB=BA. Karena AB tidak sama dengan BA untuk semua elemen, maka tidak ada nilai k yang memenuhi kondisi ini.