Jika A matriks berukuran 2x2 yang mempunyai invers dan

\(A-2I = A^{-1}\)

Pembahasan

Diberikan matriks A berukuran 2x2 yang mempunyai invers, dan memenuhi persamaan \(A^2 - 2A - I = 0\), di mana I adalah matriks identitas. Kita ingin mencari \(A - 2I\). Dari persamaan yang diberikan, kita dapat mencoba memanipulasi persamaan tersebut untuk mendapatkan bentuk \(A - 2I\).
Persamaan: \(A^2 - 2A - I = 0\).
Kita bisa menambahkan \(-2A\) ke kedua sisi persamaan \(A - 2I\) yang ingin kita cari, namun itu tidak langsung membantu. Mari kita coba manipulasi persamaan awal.
Tambahkan \(-2A\) ke kedua sisi:
\(A^2 - 2A - I - 2A = -2A\)
\(A^2 - 4A - I = -2A\)
Ini juga tidak mengarah pada \(A-2I\).

Coba kita isolasi \(A^2\): \(A^2 = 2A + I\).
Sekarang, perhatikan ekspresi yang ingin kita cari: \(A - 2I\).
Mari kita coba kalikan \(A - 2I\) dengan sesuatu.
Misalnya, kita coba kalikan \(A - 2I\) dengan \(A\):
\((A - 2I)A = A^2 - 2IA = A^2 - 2A\).
Dari persamaan awal, \(A^2 - 2A = I\).
Jadi, \((A - 2I)A = I\).
Karena matriks A mempunyai invers, ini berarti \(A^{-1}\) ada.
Kita bisa mengalikan kedua sisi persamaan \((A - 2I)A = I\) dari kanan dengan \(A^{-1}\):
\((A - 2I)A A^{-1} = I A^{-1}\)
\((A - 2I)I = A^{-1}\)
\(A - 2I = A^{-1}\).

Jadi, \(A - 2I\) sama dengan \(A^{-1}\).