Jika a sudut di kuadran II dan sin a+cos a =0,8 ;

Nilai dari cos^2 a - sin^2 a adalah sekitar -0,933.

Pembahasan

Diketahui a adalah sudut di kuadran II dan sin a + cos a = 0,8.
Kita ingin menghitung nilai dari cos^2 a - sin^2 a.
Kita tahu bahwa cos^2 a - sin^2 a = cos(2a).
Dari persamaan sin a + cos a = 0,8, kita kuadratkan kedua sisi:
(sin a + cos a)^2 = (0,8)^2
sin^2 a + 2 sin a cos a + cos^2 a = 0,64
Karena sin^2 a + cos^2 a = 1, maka:
1 + 2 sin a cos a = 0,64
2 sin a cos a = 0,64 - 1
2 sin a cos a = -0,36
Kita juga tahu bahwa sin(2a) = 2 sin a cos a, jadi sin(2a) = -0,36.

Sekarang kita perlu mencari nilai cos(2a). Kita bisa menggunakan identitas:
cos^2(2a) + sin^2(2a) = 1
cos^2(2a) + (-0,36)^2 = 1
cos^2(2a) + 0,1296 = 1
cos^2(2a) = 1 - 0,1296
cos^2(2a) = 0,8704
cos(2a) = ±√0,8704
cos(2a) = ±0,933

Karena a berada di kuadran II, maka nilai cos a adalah negatif dan nilai sin a adalah positif.
Untuk 2a, jika a di kuadran II (90° < a < 180°), maka 2a berada di kuadran III atau IV (180° < 2a < 360°).
Dalam kuadran II, sin a > 0 dan cos a < 0.
Dari sin a + cos a = 0,8, karena sin a > cos a (dalam nilai absolutnya), ini menunjukkan bahwa |sin a| lebih besar dari |cos a|.

Mari kita gunakan pendekatan lain:
Dari sin a + cos a = 0,8
Kuadratkan kedua sisi: (sin a + cos a)^2 = 0,8^2
sin^2 a + cos^2 a + 2 sin a cos a = 0,64
1 + 2 sin a cos a = 0,64
2 sin a cos a = -0,36
sin a cos a = -0,18

Kita perlu mencari cos^2 a - sin^2 a.
Kita tahu bahwa cos^2 a - sin^2 a = cos(2a).
Kita juga punya identitas:
(cos a - sin a)^2 = cos^2 a + sin^2 a - 2 sin a cos a = 1 - 2 sin a cos a = 1 - (-0,36) = 1,36
cos a - sin a = ±√1,36

Karena a di kuadran II, sin a positif dan cos a negatif. Karena sin a + cos a = 0,8 (positif), maka sin a lebih besar dari |cos a|.
Ini berarti sin a - cos a harus positif.
Jadi, sin a - cos a = √1,36

Kita punya:
sin a + cos a = 0,8
sin a - cos a = √1,36

Untuk mencari cos^2 a - sin^2 a, kita bisa gunakan:
cos^2 a - sin^2 a = (cos a - sin a)(cos a + sin a)
cos^2 a - sin^2 a = (- (sin a - cos a))(sin a + cos a)
cos^2 a - sin^2 a = (-√1,36)(0,8)
cos^2 a - sin^2 a = -0,8√1,36
cos^2 a - sin^2 a = -0,8√(136/100)
cos^2 a - sin^2 a = -0,8 * (√136)/10
cos^2 a - sin^2 a = -0,08√136
cos^2 a - sin^2 a = -0,08√(4 * 34)
cos^2 a - sin^2 a = -0,08 * 2√34
cos^2 a - sin^2 a = -0,16√34

Mari kita cek kembali perhitungan.
Jika sin a + cos a = 0,8, maka sin a dan cos a memiliki nilai yang berlawanan tanda. Karena jumlahnya positif, maka |sin a| > |cos a|.
Karena a di kuadran II, sin a positif, cos a negatif.

Kita punya sin(2a) = -0,36.
Kita perlu cos(2a).
Karena a di kuadran II, maka 2a bisa di kuadran III atau IV.
Jika 2a di kuadran III, cos(2a) negatif.
Jika 2a di kuadran IV, cos(2a) positif.

Untuk menentukan tanda cos(2a), kita perlu tahu lebih spesifik rentang a.
Namun, kita bisa menggunakan identitas cos(2a) = 1 - 2sin^2 a atau cos(2a) = 2cos^2 a - 1.

Dari sin a + cos a = 0,8, kita bisa substitusi cos a = 0,8 - sin a.
Karena a di kuadran II, sin a > 0, cos a < 0.
sin a + (0,8 - sin a) = 0,8
Ini tidak membantu.

Mari kita gunakan:
cos a = √(1 - sin^2 a) atau sin a = √(1 - cos^2 a).
Karena a di kuadran II, cos a = -√(1 - sin^2 a).
sin a - √(1 - sin^2 a) = 0,8
sin a - 0,8 = √(1 - sin^2 a)
Kuadratkan kedua sisi:
(sin a - 0,8)^2 = 1 - sin^2 a
sin^2 a - 1,6 sin a + 0,64 = 1 - sin^2 a
2 sin^2 a - 1,6 sin a - 0,36 = 0
Bagi dengan 2:
sin^2 a - 0,8 sin a - 0,18 = 0
Ini adalah persamaan kuadrat untuk sin a.
Misalkan x = sin a.
x^2 - 0,8x - 0,18 = 0
Gunakan rumus ABC: x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [0,8 ± √((-0,8)^2 - 4(1)(-0,18))] / 2(1)
x = [0,8 ± √(0,64 + 0,72)] / 2
x = [0,8 ± √1,36] / 2
x = [0,8 ± 1,166] / 2
x1 = (0,8 + 1,166) / 2 = 1,966 / 2 = 0,983
x2 = (0,8 - 1,166) / 2 = -0,366 / 2 = -0,183
Karena a di kuadran II, sin a harus positif. Jadi sin a ≈ 0,983.

Sekarang cari cos a.
cos a = 0,8 - sin a = 0,8 - 0,983 = -0,183.
Ini konsisten karena cos a negatif di kuadran II.

Sekarang hitung cos^2 a - sin^2 a:
cos^2 a = (-0,183)^2 ≈ 0,0335
sin^2 a = (0,983)^2 ≈ 0,9663
cos^2 a - sin^2 a ≈ 0,0335 - 0,9663 ≈ -0,9328

Mari kita gunakan nilai sin(2a) = -0,36.
Kita tahu cos(2a) = ±√0,8704 ≈ ±0,933.
Karena sin a ≈ 0,983 (mendekati 1), maka a mendekati 90° (misalnya 80°).
Jika a = 80°, maka 2a = 160° (kuadran II), cos(160°) negatif.
Jika a = 70°, sin(70°) ≈ 0.94, cos(70°) ≈ 0.34. sin + cos = 1.28 (terlalu besar).
Jika a = 85°, sin(85°) ≈ 0.996, cos(85°) ≈ 0.087. sin + cos = 1.083.

Jika sin a + cos a = 0,8, dan sin a ≈ 0,983, cos a ≈ -0,183.
Nilai a = arcsin(0,983) ≈ 79,4°.
2a ≈ 158,8° (kuadran II).
cos(158,8°) negatif.
Jadi, cos(2a) = -√0,8704 ≈ -0,933.

Jadi, cos^2 a - sin^2 a = cos(2a) ≈ -0,933.