Jika cos(x+15)=a dengan 0<=x<=360, nilai dari ekspresi cos

cos(2x+60) = (√3/2)(2a^2 - 1) ∓ a√(1-a^2)

Pembahasan

Jika cos(x+15)=a, kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk mencari nilai cos(2x+60).
Kita tahu bahwa cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1.
Dalam kasus ini, kita bisa menganggap θ = x+15, sehingga 2θ = 2x+30.
Namun, kita perlu mencari cos(2x+60). Kita bisa menulis 2x+60 sebagai 2(x+15) + 30.
Maka, cos(2x+60) = cos(2(x+15) + 30).
Kita bisa menggunakan identitas cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB.
Di sini, A = 2(x+15) dan B = 30.
Maka, cos(2x+60) = cos(2(x+15))cos(30) - sin(2(x+15))sin(30).
Kita tahu cos(2(x+15)) = 2cos^2(x+15) - 1 = 2a^2 - 1.
Kita juga tahu sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1, jadi sin(x+15) = ±sqrt(1 - cos^2(x+15)) = ±sqrt(1-a^2).
Untuk sin(2(x+15)), kita gunakan identitas sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) = 2(±sqrt(1-a^2))(a) = ±2a*sqrt(1-a^2).
Sekarang kita substitusikan kembali:
cos(2x+60) = (2a^2 - 1)(sqrt(3)/2) - (±2a*sqrt(1-a^2))(1/2)
cos(2x+60) = (sqrt(3)/2)(2a^2 - 1) - (±a*sqrt(1-a^2))
Karena nilai x dibatasi antara 0 dan 360, nilai a bisa positif atau negatif, dan tanda dari sin(x+15) juga bisa positif atau negatif, yang akan mempengaruhi tanda dari sin(2(x+15)).
Tanpa informasi lebih lanjut mengenai kuadran x+15, kita tidak dapat menentukan nilai pasti dari sin(x+15) dan akibatnya sin(2(x+15)).
Namun, jika soal ini mengasumsikan konteks tertentu atau ada pilihan jawaban yang spesifik, kita bisa menyederhanakannya lebih lanjut.
Sebagai contoh, jika cos(x+15)=a, maka x+15 bisa berada di kuadran I atau IV jika a>0, atau di kuadran II atau III jika a<0.
Nilai cos(2x+60) akan bergantung pada nilai spesifik x atau kuadran dari x+15.
Jika kita diminta untuk menyatakan dalam bentuk a, maka ekspresi di atas adalah bentuknya. Namun, seringkali soal semacam ini memiliki jawaban yang lebih sederhana yang mungkin berasal dari manipulasi aljabar yang berbeda.

Mari kita coba pendekatan lain.
cos(2x+60) = cos((x+15) + (x+45))
Ini juga tidak langsung menyederhanakan.

Coba cos(2x+60) = cos(2(x+15)+30)
Misalkan y = x+15, maka cos(y) = a.
Kita ingin mencari cos(2y+30).
cos(2y+30) = cos(2y)cos(30) - sin(2y)sin(30)
cos(2y) = 2cos^2(y) - 1 = 2a^2 - 1
sin(2y) = 2sin(y)cos(y) = 2(±sqrt(1-a^2))a
cos(2y+30) = (2a^2 - 1)(sqrt(3)/2) - (2a(±sqrt(1-a^2)))(1/2)
cos(2y+30) = (sqrt(3)/2)(2a^2 - 1) - a(±sqrt(1-a^2))
Ini adalah jawaban jika kita hanya menyatakan dalam bentuk a.
Namun, jika soal ini berasal dari buku teks atau ujian, kemungkinan ada jawaban yang lebih ringkas yang bergantung pada pilihan ganda.

Tanpa pilihan ganda atau informasi tambahan, jawaban yang paling tepat adalah ekspresi yang melibatkan 'a' dan akar kuadrat dari (1-a^2).