Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathKalkulus

Jika diketahui lim x->0 (sinx)/x = 1, maka lim x->0

Pertanyaan

Jika diketahui lim x->0 (sinx)/x = 1, maka lim x->0 (cosx-cosx2x)/(x^2) = ....

Solusi

Verified

Nilai limit adalah 2/3.

Pembahasan

Kita diberikan $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. Kita ingin mencari nilai dari $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos 2x}{x^2}$. Kita bisa menggunakan beberapa pendekatan. Salah satunya adalah menggunakan ekspansi deret Taylor untuk cos x di sekitar x=0, atau menggunakan identitas trigonometri. Pendekatan menggunakan identitas trigonometri: Kita tahu bahwa $\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$. Di sini, A = x dan B = 2x. Maka, $\cos x - \cos 2x = -2 \sin\left(\frac{x+2x}{2}\right) \sin\left(\frac{x-2x}{2}\right)$ $= -2 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin\left(-\frac{x}{2}\right)$ Karena $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, maka: $= -2 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \left(-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)$ $= 2 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin\left(\frac{x}{2}\right)$ Sekarang, kita masukkan kembali ke dalam limit: $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2}$ Kita bisa menulis ulang $x^2$ sebagai $x \cdot x$. $= \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sin\left(\frac{3x}{2}\right)}{x} \cdot \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{x}$ Untuk menggunakan $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$, kita perlu menyesuaikan penyebutnya: $= \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sin\left(\frac{3x}{2}\right)}{\frac{3x}{2} \cdot \frac{2}{3}} \cdot \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2} \cdot 2}$ $= \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sin\left(\frac{3x}{2}\right)}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2}$ Sekarang, kita bisa terapkan $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ untuk kedua suku: $= 2 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}$ $= 2 \cdot \frac{2}{6}$ $= \frac{4}{6}$ $= \frac{2}{3}$ Jadi, nilai dari $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos 2x}{x^2}$ adalah 2/3.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi Trigonometri
Section: Limit Fungsi Trigonometri

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...