Jika diketahui lim _(x -> tak hingga) (p)/(x) cotan

p = q^2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim (x->~)[p/x cotan(q/x)] = q, kita dapat menggunakan substitusi.
Misalkan y = 1/x. Ketika x mendekati tak hingga, y mendekati 0.
Maka, persamaan limit menjadi:
lim (y->0) [p*y cotan(q*y)]

Kita tahu bahwa cotan(θ) = cos(θ)/sin(θ), jadi:
lim (y->0) [p*y * cos(q*y) / sin(q*y)]

Kita bisa mengatur ulang persamaan menjadi:
lim (y->0) [p * cos(q*y) * (y / sin(q*y))]

Kita tahu bahwa lim (θ->0) [sin(θ)/θ] = 1, yang berarti lim (θ->0) [θ/sin(θ)] = 1.
Dalam kasus ini, θ = q*y. Maka, kita perlu mengalikan dan membagi dengan q agar sesuai dengan bentuk tersebut:
lim (y->0) [p * cos(q*y) * (1/q) * (q*y / sin(q*y))]

Sekarang kita bisa memisahkan limitnya:
(p/q) * lim (y->0) [cos(q*y)] * lim (y->0) [q*y / sin(q*y)]

Menghitung setiap limit:
lim (y->0) [cos(q*y)] = cos(0) = 1
lim (y->0) [q*y / sin(q*y)] = 1

Menggabungkan hasilnya:
(p/q) * 1 * 1 = p/q

Karena diketahui bahwa limit tersebut sama dengan q, maka:
p/q = q

Mengalikan kedua sisi dengan q:
p = q^2